Lunghezza

La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi estremi. Se a un segmento AB uniamo un secondo segmento BC che abbia in comune con esso solo il punto B otteniamo una figura ABC, la spezzata ABC (la parola "spezzata" richiama il fatto che, se C non sta sulla retta AB, la figura ha l'aspetto di un'asta spezzata nel punto B). Chiameremo lunghezza di ABC la somma delle lunghezze di AB e BC, ossia d(A,B)+d(B,C), ed estremi di ABC i punti A e C.

Se ripetiamo il procedimento unendo man mano un nuovo segmento S che abbia in comune con la spezzata un estremo ed eventualmente un solo altro punto, otteniamo una nuova spezzata che ha come lunghezza la somma della lunghezza della vecchia spezzata e della lunghezza di S. Sopra sono raffigurate tre possibili spezzate ABCD: nella prima CD ha solo C in comune con la spezzata ABC, negli altri due casi CD ha in comune con essa anche un altro punto.     In particolare nell'ultimo caso (in cui D è A) la spezzata ABCA costituisce il contorno di un triangolo; la sua lunghezza, d(A,B)+d(B,C)+d(C,A), è il perimetro del triangolo ABC.  Più in generale il perimetro di un poligono P1P2…Pn è la lunghezza della spezzata P1P2…PnP1.  Più in generale, nel caso di una superficie limitata viene chiamato suo perimetro la lunghezza della curva che ne è il contorno; vedremo tra poco come calcolarla in alcuni casi particolari.  Per ora sappiamo calcolare il perimetro del cerchio, che, ricordiamo, viene chiamato circonferenza:  un cerchio di raggio 1 ha perimetro 2·π; il simbolo π venne adottato nel 1700 proprio come abbreviazione di perimetro.     Ricordiamo che a volte le spezzate vengono chiamate poligonali; il nome deriva dal fatto, ora richiamato, che sono una generalizzazione del concetto di poligono.

Nota.  Stiamo parlando di lunghezza di segmenti in astratto, prescindendo dalla precisione della misure, e dal fatto che, nelle situazioni reali, al variare della temperatura la lunghezza di un oggetto reale cambia, anche se molto leggermente:  approssimativamente, al variare di 1°C della temperatura a partire dalle usuali condizioni ambiemtali (tra 0°C e 100°C), una sbarra di alluminio si allunga (ovvero si dilata linearmente) dello 0.0024%, una di acciaio dello 0.0012%, una di legno asciutto circa dello 0.0005%.

  Il grafico di una funzione F continua in un intervallo [a,b] può essere approssimato con una spezzata P₀P₁…P_n i cui vertici sono ottenuti mediante una tabulazione di F in [a,b]. Se, infittendo la tabulazione (ad esempio raddoppiando il numero n dei sottointervalli in cui suddivido [a,b]) la lunghezza L_n di P₀P₁…P_n tende a stabilizzarsi, possiamo assumere il numero L che L_n man mano meglio approssima come la lunghezza del grafico di F in [a,b]. Come lunghezza di linee che non sono grafici di funzione ma che possono essere ottenute "concatenando" grafici di funzione può essere presa la somma delle lunghezze di questi.
    È in questo modo che abbiamo già proceduto per definire la lunghezza degli archi di cerchio (e trovare che la lunghezza del semicerchio x²+y²=1 AND y >0 è π, e che quella dell'intero cerchio, ottenibile concatenando il semicerchio x²+y²=1 AND y <0, è 2π).

Vi sono casi in cui questa stabilizzazione non avviene. Ad es. non si verifica nel caso illustrato a fianco, in cui vi è un punto avvicinandosi al quale il grafico tende ad avere un andamento sempre più oscillante, come è evidenziato negli "zoom".  [clicca qui per una animazione]

Due spezzate o due archi di curva uguali o simmetrici hanno ovviamente la stessa lunghezza in quanto ottenibili l'uno dall'altro mediante una isometria.     Se sono simili e k è la scala, poiché la distanza tra due punti sull'una viene moltiplicata per k se si passa ai punti corrispondenti sull'altra, k è anche il rapporto tra le lunghezze delle due linee (nella figura a lato le due linee tracciate hanno fattore di similitudine pari a 3, e l'una è lunga 3 volte l'altra).   In particolare un cerchio di raggio R, poiché è simile - con scala R - al cerchio di raggio 1, che ha lunghezza (circonferenza) pari a 2π, ha circonferenza pari a 2πR. Vedrai più avanti come determinare la lunghezza di altre curve.

L'algortimo per calcolare la lunghezza del grafico di una funzione continua in un intervallo [a,b]