Complementi di Geometria
1. Introduzione
2. Lunghezza di curve
3. Area di superfici
4. Volumi di solidi
5. Definizioni e dimostrazioni. Le geometrie "non euclidee"
6. Esercizi
1. Introduzione
In questa scheda svilupperemo alcuni aspetti degli argomenti di geometria affrontati finora. Alcune parti saranno indicate come "approfondimenti", per segnalare che sono affrontabili solo in alcune scuole o alcune classi.
2. Lunghezza di curve
Abbiamo visto
come calcolare col computer la lunghezza di una curva. Ad esempio nel caso del grafico della
funzione
Con un semplice programmino (vedi) posso calcolare facilemente la lunghezza con più precisione, ottenendo il valore 6.1799149007
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Abbiamo visto che non è detto che questo algoritmo converga: vi sono curve che hanno un punto di partenza ed uno di arrivo ma che sono di lunghezza infinita.
Si può calcolare la lunghezza con un procedimento non sperimentale? In alcuni casi sì. Qui sotto è spiegato come farlo in un caso particolare.
Approfondimenti.
Siano f e g derivabili in
| x = f(t), y = g(t) Δx ≈ f '(t)·Δt, Δy ≈ g '(t)·Δt ∑√(Δx²+Δy²) ≈ ∑√( (f '(t)·Δt)² + (g'(t)·Δt)² ) = ∑ √( f '(t)² + g'(t)² ) · Δt → ∫ [a, b] |
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La lunghezza di un arco di sfera, e in particolare la distanza tra due punti sulla sfera terrestre, note le loro latitudini e longitudini, possono essere calcolati con lo script "dist ortodromica".
3. Area di superfici
Abbiamo visto come
calcolare l'area di un poligono. Abbiamo poi visto come con gli integrali
si può calcolare l'area di altre figure. In fig. 1 è rappresentata la superficie racchiusa
tra i grafici di
Abbiamo visto anche figure senza area e figure illimitate di area finita. Queste ultime le abbiamo viste soprattutto per
rappresentare leggi di distribuzione. Sotto, in fig. 2, è rappresentato parzialmente l'istogramma di distribuzione normalizzato (ossia scalato verticalmente
in modo che l'area sia 1) del numero di lanci da effettuare affinchè esca testa (al 50% esce al primo lancio, al 25% al secondo, al 12.5% al terzo, …). Vedi
"Quale matematica per i fenomeni casuali".
In fig. 3 è riprodotta una funzione di densità della distribuzione esponenziale, definita in [0,∞); in fig. 4
una distribuzione gaussiana, definita in (−∞,∞).
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Questo calcolo lo possiamo fare facilmente anche con un programma in JavaScript: vedi.
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4. Volumi di solidi Sappiamo determinare i volumi di parallelepipedi, cilindri, piramidi e coni. Come abbiamo osservato che vi sono figure piane illimitate di area finita, così abbiamo visto che vi sono solidi illimitati che hanno un volume finito (vedi la figura a lato). Occupiamoci, ora, di come determinare i volumi di alcune altre figure solide, quelle che possono essere generate mediante la rotazione attorno ad un asse di una figura piana. Illustriamo le "tecniche" impiegabili partendo da un caso in cui sappiamo determinare il volume anche con altri metodi. |
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Determino il volume del solido raffigurato sopra a sinistra, dotato di un asse di simmetria,
con la superficie "interna" cilindrica di raggio uguale all'altezza, una faccia a forma di corona circolare
e il resto della superficie a profilo rettilineo, inclinato di 45° rispetto all'asse di simmetria
(i semipiani aventi come bordo l'asse di simmetria intercettano sul solido dei triangoli rettangoli isosceli).
L (la lunghezza dei cateti del triangolo T) è sia lo spessore della corona circolare che l'altezza e
il raggio del cilindro. Suppongo che L = 1, ossia uso L³ come unità di volume.
Posso pensare il solido come un cono circolare retto di altezza e raggio 2 da cui ho tolto un cono di altezza
e raggio 1 e un cilindro circolare retto di altezza e raggio 1.
Ottengo:
Ora ricavo il volume usando direttamente qualche
tecnica di integrazione. Dovrei ottenere lo stesso risultato. Penso il solido come frutto
della rotazione di una figura attorno all'asse di simmetria.
Nel mio caso posso pensare il profilo della figura
• sia come grafico di una funzione F assumendo l'asse di rotazione come asse x,
• sia come quello di una funzione G assumendo l'asse di di rotazione come asse y.
•
Col primo metodo (figura al centro) penso il solido come somma di tanti anelli (rondelle)
di spessore Δx, raggio esterno F(x) e interno 1.
La variazione ΔV del volume al passare da x a x+Δx
è approssimabile con
•
Col secondo metodo (figura a destra) penso il solido come somma di cilindretti cavi (gusci cilindrici)
di spessore Δx, raggio interno x e altezza
La variazione ΔV del volume al passare da x a x+Δx
è approssimabile con
Il calcolo lo potrei fare facilmente anche con lo script "integrali" presente qui: ∫[0,1] x²-4x+3 dx = 4/3.
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Approfondimenti.
Vediamo altri due esempi.
Determino il volume di una sfera in modo alternativo
rispetto a quanto già visto, illustrato qui a sinistra (pensare alla sfera come unione di piramidi con altezza pari al raggio).
Posso limitarmi
al caso in cui il raggio sia 1: moltiplicando per R³
il volume così ottenuto otterrei quello di una sfera di raggio R.
Penso la sfera come unione di dischi di spessore infinitesimo dx e raggio
∫[−1, 1] π f(x)2 dx
=
∫[−1, 1] π(1−x²)dx
= In pratica questo metodo dei dischi è un caso particolare di quello delle rondelle. |
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Vediamo, ora, come ottenere il volume del solido a fianco
(una specie di bicchiere),
ottenuto ruotando attorno all'asse y la regione compresa
tra y = 2x e y = x² per x in
∫[0, 2] 2πx (2x−x²) dx
= Il calcolo lo potrei fare facilmente anche con lo script "integrali" già richiamato. Integrando −2*x³+4*x² tra 0 e 2 ottengo 2.666… |
5. Definizioni e dimostrazioni. Le geometrie "non euclidee"
Che cosa è una poesia? Se ne cerco il significato in un vocabolario posso trovare "componimento in versi". Se, per capire, cercassi anche il significato di verso potrei trovare "ciascuna delle unità fondamentali di una composizione poetica". In pratica una definizione rimanda all'altra e da esse non riesco a capire che cosa sia una poesia. Per capirlo occorre aver letto poesie e aver imparato a chiamarle in quel modo.
Se provo con bicchiere posso trovare "piccolo recipiente usato per portare le bevande alla bocca".
In questo caso, andando a cercare recipiente, bevanda, … non incontrerei di nuovo la parola bicchiere, ma troverei altre parole nuove, di cui a loro volta potrei andare a cercare il significato sul vocabolario.
In ogni caso, prima a poi, arriverei a parole di cui il vocabolario non mi riesce a spiegare il significato:
devo apprenderlo mediante qualche figura, qualche esempio o qualche esperienza di tipo fisico o sociale.
Poi, non è detto che si concordi tutti sul significato di una parola.
Ad esempio di fronte a un certo componimento che qualcuno considera una "poesia" ci può essere chi
non è d'accordo a considerarlo tale.
Non è raro che un processo dimostri la colpevolezza di un imputato e che, dopo qualche tempo, si venga a scoprire che il colpevole era invece un'altra persona.
Oppure che due successivi processi, a partire dalle stesse "prove", diano uno una sentenza di colpevolezza e l'altro di innocenza.
In matematica definizioni e dimostrazioni vengono intese con una accezione più ristretta.
Vedi la voce Definizioni e dimostrazioni degli
Oggetti Matematici per qualche riflessione e precisazione a proposito delle definizioni e dimostrazioni dei matematici.
La parola modello in matematica, oltre che per indicare:
– una "rappresentazione matematica" di un fenomeno,
una situazione, un oggetto, … riferito a un certo contesto,
viene usata anche, in un modo quasi opposto,
per indicare
– una "interpretazione" in qualche contesto matematico di un insieme di proprietà.
Da una parte si può dire che il concetto di relazione d'ordine è un modello matematico per:
il "≤" tra numeri interi o numeri reali, il
Questo nuovo significato di "modello" si è sviluppato a cavallo del XIX e XX secolo. Per il suo uso riferito alla geometria, e alle sue diverse presentazioni assiomatiche, si veda la voce Assiomi e loro modelli degli Oggetti Matematici.
6. Esercizi
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