da: Notiziario dell'Unione Matematica Italiana, 1984, n.1

INDAGINE SULLE CONOSCENZE MATEMATICHE DELLE MATRICOLE
DI CORSI DI LAUREA IN MATERIE SCIENTIFICHE 
Giuseppe Accascina (Dipartimento di Matematica, Università di Pisa)
Carlo Dapueto (Istituto di Matematica, Università di Genova)

 
Introduzione 
Riportiamo i risultati di un'indagine, effettuata per mezzo di un questionario distribuito negli A.A. 1982-83 e 83-84 alle matricole di alcuni corsi di laurea delle Università di Genova e di Pisa, per verificare il livello di preparazione matematica degli studenti all'ingresso all'Università. 
Il questionario è stato redatto dalla commissione didattica dell'Istituto di Matematica dell'Università di Genova. Per la sua formulazione si è fatto riferimento al "Syllabus di Matematica" (vedere N.U.M.I., n.3, 1980). I questionari sono stati distribuiti, compilati e restituiti nella prima ora accademica di lezione. 
Il questionario è di tipo aperto; esso è stato preferito a quello a risposte predeterminate per avere la possibilità di analizzare i procedimenti logici e le procedure e di risoluzione usate dagli studenti. Ciò ha permesso di svolgere una dettagliata analisi qualitativa delle risposte fornite ai singoli quesiti. 
Riportiamo di seguito una tabella sinottica dei questionari esaminati suddivisi per scuola di provenienza, sede e corso di laurea (accorpati per affinità) ed il testo del questionario.

              Tabella 1 - Questionari esaminati

Corso di laurea di iscrizione       Scuola di provenienza
                              L.Sc.    L.Cl.  I.T.I.  Altre   Totale
MATEMATICA   Mat., GE (1)      162      36       9      50      257
     E       Mat., PI (2)       36       4       3       6       49
INFORMATICA  Inf., PI (3)       91      15      18      33      157
             totale            289      55      30      89      463
FISICA             GE (4)       27       9       7       8       51
                   PI (2)       60      22      11       7      100
             totale             87      37      78      75      757
INGEGNERIA         GE (5)      127      20      64      32      243
                   PI (6)      119      31      60      23      233
             totale            246      51     724      55      476
GEOLOGIA     Geo., GE (4)       42       9       3      17       71
    E        Bio., GE (7)       18      19       4      20       61
BIOLOGIA     Bio., PI (8)       40       7       0      14       61
             totale            100      35       7      57      793
             T0TALE            722     172     779     270(9)  7283

(1) A.A. 1982-83 e 83-84; (2) A.A. 1983-84; (3) A.A. 1983-84, uno dei 4 corsi; (4) A.A. 1982-83; (5) A.A. 1982-83 e 83-84, ing. mecc. e chim.; (6) A.A. 1983-84, ing. elettronica e elettrotecn.;(7) A.A. 1982-83, uno dei 2 corsi; (8) A.A. 1983-84, uno dei 2 corsi; (9) di cui: Mag. 41, L.Ling. 8, L.Art. 4, I.T.Comm. e Geom. 75, Prof. 23, Nautico 19, Scuole straniere 9, non specificato 31.

 
Testo del questionario 

1) Dal fatto che 6 è divisore di a·b si può dedurre che 6 è divisore di a oppure di b? (a e b sono numeri interi; motivare la risposta). 

2) Nel paese A il costo della vita è aumentato del 10% nel primo semestre del 1982 e del 10% nel secondo semestre. Di quanto è aumentato nel 1982? 

3) Risolvere l'equazione (2x-1)(2x+1)(3x+1) = 0 

4) Mettere in ordine di grandezza i seguenti numeri (specificando quali sono eventualmente uguali):

      1         —                      -100     —       -100           -100
2 - —————— ;  1,9 (= 1,999...);  2 - 10    ;  0,3*6 ;  2    ; 2 ; 2 - 1
      100
    10

5) Fissare l'unità di misura sull'asse x del secondo grafico in modo che i due grafici rappresentino la stessa funzione.

                                             3
6) Data l'equazione  2x+3 = 0, perché  x = - —  è soluzione?
                                             2

7) Di un rettangolo R si conoscono le misure della base a e dell'altezza b, a = 0,8 cm e b = 0,9 cm, con la precisione di un millimetro (cioè si sa che le misure di a e di b possono differire dai valori indicati per eccesso o per difetto al più di 1 mm). Si cancellino con una barra tra i seguenti valori quelli che sicuramente non possono essere l'area di R. 
1 cm2;  0,6 cm2;  0,4 cm2;  0,8 cm2;  0,5 cm2;  0,7 cm2 

8) Se a e b sono due numeri interi relativi non nulli (...,-3,-2,-1,1,2,3,...) quando si ha a/b > 0? 

Analisi delle risposte 
Per poter innanzitutto effettuare una sintesi quantitativa del grado di conoscenza degli studenti distinguendo per scuola di provenienza e per corso di laurea di iscrizione, si sono stabiliti dei criteri in base ai quali considerare una risposta "esatta" o "errata". 
In particolare nel terzo quesito si è inteso per risposta "esatta" una risposta corretta senza aver moltiplicato i polinomi di primo grado. 
Nel quarto quesito solo una piccola minoranza (circa il 2%) ha saputo ordinare correttamente tutti i numeri. Per questo (al fine di ottenere un parametro significativo) si sono considerate risposte "esatte" quelle in cui sono sono stati messi nell'ordine giusto i termini 2-100, 2-1-100, 2-1/10100 e 1,999.... 
Nel sesto quesito si è considerata risposta "esatta" ogni risposta del tipo: "poiché sostituendo... l'uguaglianza risulta essere vera" (o "poiché verifica l'equazione"). 

Riportiamo di seguito due tabelle da cui si desume il diverso livello di preparazione degli studenti a seconda della scuola di provenienza e del corso di laurea di iscrizione (ricordiamo che il numero dei quesiti è 8).

Tabella 2 - Numero medio di risposte "esatte" per corso di laurea
             Matematica e Informatica     4,7 
             Fisica                       5,9 
             Ingegneria                   4,8 
             Geologia e Biologia          3,1 
             Totalità studenti            4,6

Tabella 3 - Numero medio di risposte "esatte" per provenienza    
               Liceo scientifico          5,0 
               Liceo classico             4,2 
               I.T.I.                     4,5 
               Altre                      3,7 
               Totalità studenti          4,6


Si nota un basso numero di risposte esatte; risultato che si manifesta ancora più preoccupante se si tiene presente che si tratta di studenti che, per la scelta del corso di laurea, sono da considerarsi i più interessati e presumibilmente i più "portati" alla matematica. 
Una prima analisi della tabella 2 sembra mostrare un'autoselezione da parte degli studenti all'atto dell'iscrizione. Infatti gli studenti di Fisica hanno risposto meglio dei loro colleghi; una spiegazione potrebbe essere ricercata nella consapevolezza di dover affrontare un corso di laurea più impegnativo. La situazione opposta invece si riscontra per gli studenti di Geologia e Biologia, corsi di laurea in cui si richiede un minor impegno matematico. 
Non si nota (vedere tabella 3) una grande differenza di preparazione tra gli studenti provenienti dai diversi tipi di scuola. Interessanti differenze si deducono invece dall'esame della tabella che segue.

Tabella 4
Percentuali di risposte "esatte" ai singoli quesiti per provenienza
           Quesiti         1    2    3    4    5    6    7    8
———————————————————————————————————————————————————————————————————
 Liceo scientifico        35   60   76   40   90   67   47   87 
 Liceo classico           35   52   51   28   88   61   40   65 
 I.T.I.                    5   62   58   35   87   63   50   79 
 Altre                    20   40   40   21   74   46   30   59 
 Totalità studenti        31   56   64   34   86   62   43   78

Notiamo che l'ordine di difficoltà incontrata dagli studenti è indipendente dalla scuola di provenienza; ad esempio la domanda n.5 è risultata la più facile, mentre la n.l la più difficile. Restringendo l'analisi al confronto tra gli studenti provenienti dal liceo scientifico, dal classico e dall'I.T.I., si nota che: 
gli studenti del liceo scientifico si dimostrano più preparati dei loro colleghi nelle disequazioni (quesito 8) e nella risoluzione di equazioni algebriche (ques. 3); 
gli studenti del classico hanno più difficoltà dei loro colleghi nelle disequazioni (ques. 8) e nell'uso delle potenze (ques. 4); 
gli studenti dell'I.T.I. rispondono meglio dei loro colleghi ai quesiti di tipo applicativo. quali il calcolo del costo della vita (ques. 2) e dell'area del rettangolo (ques. 7); mostrano invece notevoli difficoltà nella risoluzione dell'esercizio teorico di tipo aritmetico (ques. 1). 
Le stesse tabelle sono state elaborate separatamente per gli studenti di Genova e di Pisa. le linee di tendenza risultano invariate. Si nota però che il numero medio delle risposte esatte degli studenti di Pisa è maggiore di quasi mezza risposta al numero medio calcolato sulla totalità degli studenti. Fattori che possono aver contribuito a determinare questo scarto sono il fatto che agli studenti di molte scuole toscane viene distribuito il "Syllabus" e il fatto che a Genova il questionario è stato distribuito in quattro versioni diverse nell'ordinamento delle domande, il che può aver reso più difficoltosa la copiatura. 


Commento alle risposte ai singoli quesiti. 

Quesito 1 
Sono state considerate "esatte" oltre alle risposte "no" in cui è stato mostrato un controesempio o è stata svolta un'argomentazione corretta ed esauriente (come: "6=2·3, quindi affinché a·b sia divisibile per 6 basta che a sia divisibile per 2 e b sia divisibile per 3"), anche quelle in cui la motivazione non è stata svolta completamente (es. "poiché a e b possono essere sottomultipli di 6" o "poiché 6 non è primo"). Nonostante ciò il quesito 1 è quello che ha ottenuto il minor numero di risposte "esatte". 
Le altre risposte "no" (circa 1/4 del totale) non contenevano motivazioni o contenevano motivazioni errate o tautologiche (es. : "6 è divisore di a o di b se a o b è multiplo di 6"). 
Tra coloro che hanno risposto "sì" la maggioranza ha dato motivazioni (qui riportate usando una scrittura a "1 piano", senza ricorrere a "linee di frazione") del tipo "infatti a·b/6 = a/6·b o a·b/6 = a·(b/6)", alcuni hanno precisato che "a o b deve essere 6" e molti (circa 1/4) hanno precisato che 6 deve essere divisore sia di a che di b, in genere basandosi sull'"eguaglianza": a·b/6 = a/6·(b/6) (diversi di questi invero hanno risposto "no" al quesito, facendo seguire la "spiegazione" che deve essere divisore di entrambi i numeri, mostrando così di non aver neanche compreso la "logica" della domanda).


Quesito 2 
Sono state considerate "esatte" oltre alle risposte "21%" anche quelle in cui è stato solo abbozzato il procedimento per ottenere la soluzione (es. "se x è il costo della vita si ha (x+10%x)+l0%(x+10%x)"). Le risposte "esatte" nella grande maggioranza contengono solo la soluzione "21%" senza procedimenti di calcolo e spesso presentano la cancellatura di altre soluzioni; alcune contengono l'osservazione che se ci si riferisce all'inizio del secondo semestre invece che all'inizio dell'anno l'aumento e del 20% (!). 
Tra coloro che hanno sbagliato i più hanno risposto "20%" (circa la metà) e "l0%"; seguono in ordine di frequenza le risposte: "11%" (ottenuto in genere così: 10%+10%10% = 11%), "30%" (l0%+20%=30%) , "15%" ((l0%+20%)/2) , "0,21%", "12,1%", "20,1%" "22%", "più del 20%", "15,1%", "più del 21%", "31%", "12%", "10,5%", "19%", "circa 19,1%", "5%", "7%", "48,4%", "100%",... E poi dicono che l'insegnamento della matematica nelle scuole superiori stimola poco la capacità di "astrazione" (dai calcoli economici presenti quotidianamente sui giornali ...) e la "creatività" (trovare così tanti valori diversi, persino inferiori a 10% ...)!


Quesito 3 
Sono state considerate "esatte" sia le risposte in cui le soluzioni sono accompagnate da una traccia del procedimento sia quelle contenenti solo le soluzioni. Tra le risposte "esatte" circa un quarto presentano le soluzioni a fianco della cancellatura di tentativi di ricerca delle radici di un polinomio di 3° grado. 
Negli altri questionari in cui sono state ottenute le soluzioni corrette (circa 1/5) si è proceduto moltiplicando i primi due binomi ( (4x2-l)(3x+l)=0; x=±1/2, x=-1/3 ) oppure moltiplicando tutti i binomi, trovando poi una soluzione mediante la "regola di Ruffini" o raccoglimenti a fattor comune e risolvendo infine la rimanente equazione di 2° grado. 
Nei restanti questionari o non sono state trovate soluzioni (i più dopo aver moltiplicato i binomi hanno dichiarato di non saper risolvere le equazioni di 3° grado; molti hanno sbagliato la moltiplicazione, anche ottenendo polinomi di grado diverso dal 3°, altri hanno intrapreso errati raccoglimenti a fattor comune) o sono state trovate solo alcune soluzioni (molti non hanno trovato -1/2 poiché da x2-1/4=0 hanno ricavato solo x=1/2; alcuni hanno "semplificato" per 3x+1 e hanno ottenuto solo x=±1/2) o sono state date soluzioni che non erano tali (x=0; x≠1/2, x≠-1/2, x≠-1/3 ; x>-l/3, procedendo con "Tartinville"; ...)


Quesito 4 
Circa il 2% - come già ricordato - ha ordinato correttamente tutti i numeri. Le risposte "esatte", cioè quelle in cui sono stati messi nell'ordine giusto 2-100, 2-1-100, 2-1/10100 e 1,999..., sono state solo il 34% (e tra queste diverse si sono esplicitamente basate su considerazioni del tipo 2-100 = 0,02 e 2-1-100 = 1,99). 
Analizzando più in dettaglio le risposte, osserviamo che nella grande maggioranza (circa 3/4) dei questionari sono stati indicati come eguali 2-1/10100 e 2-10-100; meno (circa la metà del totale) sono sia quelli in cui è stato indicato che 2-100 è più piccolo di tutti gli altri numeri sia quelli in cui 2-1-100 è stato considerato inferiore a 2-1/10100. 
Questo scarto mette in luce la difficoltà a leggere e usare le potenze al di fuori di esercizi standard (un esempio significativo è dato dalla "trappola" in cui è cascato chi da 1<10 ha dedotto che 1-100 è inferiore a 10-100). Meno della metà sono i questionari in cui 2-1/10100 è stato considerato inferiore a 1,999... : è evidente dietro a questo fenomeno l'uso acritico delle calcolatrici tascabili, utilizzando le quali si ottiene 2-1/10100 = 2. 
Ammontano circa al 10% sia coloro che hanno indicato come eguali 1,999... e 0,333...·6 (eguaglianza intuibile anche con la calcolatrice: 0,3333333·6 = 1,9999998) sia coloro che hanno indicato come eguali 0,333...·6 e 2 (pensando a 0,333... come 1/3 e/o battendo sulla calcolatrice [1][:][3][x][6][=]); molto meno (circa il 2%, pochi questionari in più di quelli in cui sono stati ordinati correttamente tutti i termini) sono i questionari in cui 1,999... e 2 sono indicati come eguali; questi questionari costituiscono in pratica l'intersezione di quelli in cui è stato posto 1,999... = 0,333...·6 e quelli in cui è stato posto 0,333...·6 = 2 (per cui si può supporre che in genere l'eguaglianza tra 1,999... e 2 sia stata individuata indirettamente per transitività). 
Le difficoltà incontrate nel confronto tra 2, 0,333...·6 e 1,999... segnalano grosse lacune nella preparazione numerica, sia a livello concettuale (concetto di numero reale, concetto di limite, ...) sia a livello operativo (approssimazione,... ; la giustamente dimenticata regoletta per trovare istantaneamente" la "frazione generatrice" di un qualunque numero periodico non è stata rimpiazzata da altre conoscenze e abilità). 
Per brevità non riportiamo classificazioni ed esempi degli assai vari tipi di errore, che vanno dalle relazioni d'ordine più bizzarre, come quelle in cui 2-10-100 o 2-1-100 è maggiore di 2 ("-" e "-" fa "+"!), ai calcoli più strani, come 0,333·6 = 1,888... (si fa il prodotto di 0.3·6 senza "—" sopra "3" e poi si riporta "—", sopra a 8, nel risultato).


Quesito 5 
E' quello che ha avuto il maggior numero di risposte esatte, tuttavia tra i pochi che hanno anche motivato la risposta "esatta" i più hanno dato spiegazioni errate (la più comune è stata del tipo: y = 1/2 x, y=1 => x=2). 
La risposta sbagliata più diffusa è stata quella di fissare l'unita sull'asse x a 4 cm dall'origine; seguono, in ordine di frequenza, quelle in cui viene fissata a 0,5 cm e quelle in cui viene fissata a 1 cm. E poi: chi pone 1 a 3 cm, chi pone 1/2 a 4 cm, chi pone 1 a 1/4 cm, chi afferma che si può mettere 1 ovunque, chi fissa le unità su entrambi gli assi come nel primo grafico, ...


Quesito 6 
La valutazione se le varie risposte rientrano nella fissata categoria convenzionale di risposta "esatta" si è leggermente differenziata tra le persone che hanno fatto lo spoglio dei questionari a seconda del rilievo dato alla correttezza linguistica; da tutti sono state considerate "esatte" oltre alle risposte del tipo: "poiché 2(-3/2)+3=-3+3=0", "poiché sostituendo ... l'eguaglianza risulta essere vera", "poiché -3/2 soddisfa l'equazione", ... anche: "la funzione si annulla", "sostituendo si ottiene come risultato zero" ,... 
Alcuni hanno considerato "esatte" anche le risposte del tipo "perché è il valore da dare a x affinché la equazione risulti uguale a zero", "perché rende valida l'identità 2x+3=0", "poiché verifica la funzione",... in cui si è intuita la motivazione "esatta", ma si sono usati scorrettamente i termini "equazione", "funzione", "identità", ... 
Sono state considerate "esatte" anche tutte le risposte in cui alla risoluzione dell'equazione è stata fatta seguire la verifica (spesso effettuata ricorrendo meccanicamente alla somma di frazioni: 2·(-3/2)+3 = -6/2+3 = (-6+6)/2 = 0). 
Nella maggioranza dei questionari con risposta non "esatta" è stata solamente risolta l'equazione; altri hanno tentato di spiegare (e motivare) come si risolvono le equazioni di primo grado (da "perché la formula risolutiva è x=b/a" a "perché si applicano le proprietà dell'algebra", "si isola la x e si trasportano i numeri che assumono valori negativi" e altre "spiegazioni" più elaborate). 
Altri ancora hanno dato risposte diverse: "perché -3/2 ≠ 0", "perché x è il punto della retta che tale funzione rappresenta", "perché, data una funzione rappresentabile con una retta, il punto di ascissa x=-3/2 fa parte della funzione".


Quesito 7 
Tra le risposte esatte solo una piccola minoranza presenta tracce di una motivazione corretta (cioè: 0,56 cm2 < area di R < 0,9 cm2), la maggioranza non contiene motivazioni e in diverse si osserva che l'area di R deve essere compresa tra 0,72 cm2 - 1 mm2 e 0,72 cm + 1 mm2 e si deduce da ciò che sono da scartare i valori non compresi tra 0,6 cm2 e 0,8 cm2; questa motivazione doppiamente errata (sia nella determinazione della precisione del prodotto che nella somma di grandezze espresse in unità diverse) è probabilmente implicita in molte delle risposte esatte che non sono state frutto di sola copiatura. 
Naturalmente, le altre risposte più diffuse sono state quelle in cui si è accettato solo il valore 0,7 cm2 e quella in cui si sono accettati 0,7 cm2 e 0,8 cm2 (0,72 è compreso tra 0,7 e 0,8!); segue in ordine di frequenza la risposta in cui vengono barrati tutti i valori (0,72 cm2 non compare tra i valori indicati!); altre risposte frequenti sono state quella in cui sono scartati solo i valori estremi, 1 cm2 e 0,4 cm2, e quella in cui si è accettato solo 0,4 cm2 (questa risposta deriva - come appare evidente in alcuni questionari - dall'uso della formula per il calcolo dell'area del triangolo: 0,8·0,9/2 = 0,36, che è circa 0,4). 
Vi sono poi molte altre risposte, da quelle "contradditorie" (in cui si accettano due valori e non un valore tra essi compreso) a quella in cui si dichiara che tutti i valori sono accettabili,... fino a totalizzare una trentina di risposte diverse. Alcuni aggiungono: "non sono sicuro della risposta poiché non ho con me la calcolatrice"!


Quesito 8 
Sono state considerate "esatte" anche le numerose risposte in cui la soluzione è formulata scorrettamente (es.: "a>0 U b>0", "∀a o ∀b sono concordi", "entrambi + o entrambi -", "... poiché (a>0)/(b>0)>0 e (a<0)/(b<0)>0", ... e anche:"a e b di segno concorde", "sia a che b entrambi dello stesso segno", ...); molti aggiungono "e b≠0". 
Nella maggioranza degli altri questionari viene considerata la relazione d'ordine che intercorre tra a e b. La risposta più frequente è "a>b"; seguono "a e b concordi e a>b", "a>b>0 o 0>b>a", "a e b concordi o a>b", "a e b concordi e |a|>|b|", "a>b>0", e analoghe con ">" invece di ">"; altre risposte sono: "a≥b" o b>0", "a≥b e a>0", "a>b o a>-b", "ab", "a>ab", "a>b>0 o a<b<0 o b>a>0", ... 
In altri questionari viene considerata la relazione di divisibilità tra a e b: "a multiplo di b", "concordi e a multiplo di b", "concordi o a multiplo di b", ... 
Poi vi sono risposte del tipo: "a>0 e b>0 (o "a U b > 0", ...), "a>0 o b>0", "a<0 e b<0", "a>0 e b>0", "(a>0 e b<0) o (a<0 e b>0)", "a>0", "a≠0≠b", "b≠0", "b≥0", "b≠1", "a=0", "prendendo |a| e |b|", ... , "mai", "sempre". 
Vi sono risposte che manifestano assoluta non padronanza dell'uso delle lettere: "+a/+b o -a/-b", "... poiché -a/+b<0 e +a/-b<0", ...; e risposte in cui non si va oltre all'elencazione di esempi (per altro senza dare un'idea corretta della soluzione): -1/-1, -2/-2, ...", "2/1, 3/1, 4/1, ...", "2/1, 3/2, 4/3, ..., -2/-1, -3/-2, -4/-3, ...", ... 
Osserviamo infine che oltre ad esservi numerose risposte sintatticamente scorrette (sia nell'uso di simboli matematici che nell'uso della lingua italiana) vi sono anche numerose risposte in cui difetta la "logica" (sia come raziocinio" che come padronanza della semantica delle costruzioni della lingua italiana): dalle risposte contenenti contraddizioni (come "a>0, b>a, b<0") a quelle contenenti tautologie (come "a e b concordi o discordi" o " se |a|-|b|<|a|+|b|") o tautologiche rispetto al quesito ("se a·b>0"), da quelle espresse in modo ridondante (come "a>b>0 o 0<b<a", "-a>b o a<-b", "a>b, b>0, a>0", ... o come "concordi e a>0") a tutte le risposte in cui si fa un uso promiscuo di "e" e "o". 

Considerazioni conclusive. 
Ci siamo soffermati a commentare abbastanza in dettaglio le risposte ai vari quesiti perché ci è sembrato utile fornire un quadro abbastanza analitico delle carenze dell'insegnamento matematico nell'attuale scuola superiore, sia in vista di una riformulazione dei programmi scolastici nell'ambito della (eventuale?) riforma della scuola secondaria superiore, sia pensando che le informazioni sui livelli di ingresso all'Università possano servire per ripensare all'impostazione dei corsi universitari del primo anno. 
Da questo punto di vista ci sembra che l'analisi condotta, nonostante i limiti (difficoltà a valutare e classificare precisamente le risposte, limitatezza geografica del campione, presenza di numerose risposte "copiate",...), abbia fornito indicazioni assai utili. 
Riteniamo che, basandosi sui risultati di questa indagine, sia possibile realizzare, mediante un nuovo questionario, un'ulteriore indagine, che permetta di effettuare anche valutazioni e confronti su scala nazionale. Gli interessati a una simile iniziativa sono pregati di mettersi in contatto con Giuseppe Accascina (Dipartimento di Matematica dell'Università di Pisa) o con Carlo Dapueto (Istituto di Matematica dell'Università di Genova).