Lo spazio tridimensionale

Abbiamo già considerato lo lo spazio tridimensionale; abbiamo visto come si può definire per esso una distanza; abbiamo considerato alcuni problemi legati alla realizzazione di rappresentazioni cartografiche piane di figure in tre dimensioni; e abbiamo visto come determinare il volume di alcuni solidi, anche nel caso in cui possono essere "generati" col movimenti di alcune superfici piane ( altri usi degli integrali). Abbiamo, anche, considerato la problematica delle rappresentazioni prospettiche (nelle voci proiezioni tra superfici  e  prospettiva).
    Abbiamo, poi, accennato alla possibilità di considerare vettori in tre dimensioni. Soffermiamoci, inizialmente, su quest'ultimo aspetto.
    Premettiamo una notazione, che può essere utile. Quando si considerano due insiemi A e B, l'insieme delle coppie (x, y) al variare di x in A ed y in B viene indicato A×B. Analogamente, dato un altro insieme C, con A×B×C si indica l'insieme delle terne (x, y, z) al variare di x in A, y in B e z in C. In particolare il piano e lo spazio cartesiani vengono indicati R×R e R×R×R o, più in breve, R² e R³.  Data le analogie di scrittura con la moltiplicazione tra numeri, A×B viene chiamato prodotto cartesiano degli insiemi A e B; non valgono, tuttavia, tutte le proprietà della moltiplicazione tra numeri, ad esempio se A={1,2} e B={5}, A×B è l'insieme delle due coppie (1,5) e (2,5), che è diverso da B×A, costituito dalle due coppie (5,1) e (5,2).

I vettori tridimensionali Per rappresentare e misurare molte grandezze fisiche, come forze o velocità, ci si serve di vettori piani se queste sono dirette lungo direzioni che stanno tutte nello stesso piano, di vettori tridimensionali in generale.  Come abbiamo già visto, possiamo rappresentare i vettori in vari modi: con delle frecce sovrapposte, come differenze tra punti, con delle lettere in corsivo o con delle lettere in grassetto.  In questa voce, quando useremo delle lettere in grassetto intenderemo sempre che esse rappresentino dei vettori.  Useremo, in particolare, i, j e k per indicare i versori ( direz. e funz. circolari) degli assi, ossia i vettori lunghi 1 (o vettori unitari) diretti come i tre assi coordinati  (attenzione: i in questo caso rappresenta il versore dell'asse x, non quello dell'asse y, come accade quando si studiano i numeri complessi).     Facendo riferimento alla figura a fianco, i vettori 2i, 3j e k sono i vettori diretti come i, j e k di lunghezza, ordinatamente, doppia, tripla ed uguale ad essi. Il vettore (0,0,0)-(2,3,1) posso rappresentarlo con la somma 2i+3j+k.

i = (1, 0, 0)     j = (0, 1, 0)     k = (0, 0, 1)

Ricordiamo ( vettori) che la "lunghezza" del vettore v, ossia, nel caso precedente, il numero √(22+32+1) (= √14 = 3.741657…), viene chiamata modulo di v; si usa anche il termine norma di v. Essa viene indicata |v| o ||v||.  Usando la seconda scrittura,  ||(x, y, z)|| = √(x2+y2+z2).     Nel seguito consideremo i vettori come "non applicati" ( vettori), ovvero come se tutti fossero applicati nell'origine. In altre parole consideremo due vettori uguali se rappresentati da due frecce egualmente dirette ed egualmente lunghe.     (0,0,0) è l'unico vettore di modulo nullo. In modo ovvio si estendono al caso tridimensionale le definizioni già date per il caso bidimensionale, come quelle di ( vettori) addizione e sottrazione. Il vettore (0,0,0) è l'elemento neutro rispetto a questa addizione, e lo indicheremo anche, semplicemente, con 0.     Ricordiamo che spesso chiameremo scalari ( vettori) i numeri reali, per distinguerli dai vettori. Useremo la notazione  kv  per indicare il vettore prodotto di uno scalare k per un vettore v, dato da (kv1, kv2, kv3)  (se v = (v1,v2,v3)).

Se v ≠ 0 chiamiamo normalizzazione di v il passaggio a  v / ||v||,  ossia al versore diretto come v.  Le componenti del versore u ottenuto normalizzando v = (v1,v2,v3) vengono dette anche coseni direttori di v in quanto sono dati dal coseno degli angoli che v forma con i tre assi coordinati:  ui = cos(∠ v xi)  (avendo indicato gli assi x, y e z con x1, x2 e x3). La figura a lato illustra il caso di u3. Con un'analoga costruzione si possono illustrare gli altri due casi. Si noti che posso scrivere sia  cos(∠ v xi)  che  cos(∠ xi v)  in quanto cos(α) = cos(–α).

Una somma del tipo  a1v1+a2v2+…+anvn  (con ai numeri reali e vi vettori) viene detta combinazione lineare dei vettori v1, v2, …, vn.  Evidentemente, ogni vettore può essere espresso (in modo unico) come combinazione lineare di i, j e k.

    Ecco la rappresenatazione con WolframAlpha del vettore 2i+3j+k e delle sue componenti dirette come gli assi:

vector (0,0,1), vector (0,3,0), vector (2,0,0), vector (2,3,1)

  Viene chiamato prodotto scalare o prodotto interno (o dot product, in inglese) di due vettori u e v,  e indicato u·v,  il numero pari al prodotto del modulo di u per la proiezione di v su u:  vedi la prima figura sottostante  (qualche decennio fa esso veniva indicato u×v, notazione oggi usata per il prodotto vettoriale: vedi il prossimo paragrafo).  Se u e v sono perpendicolari il loro prodotto scalare (2ª figura) è nullo.  Se u e v formano un angolo minore di un retto hanno prodotto scalare positivo.  Se (3ª figura) u e v formano un angolo compreso tra un retto e un piatto hanno prodotto scalare negativo.  Se (4ª figura) u e v formano un angolo maggiore di un piatto ci possiamo ricondurre ad una delle situazioni precedenti.  Se u o v è nullo tale è anche il loro prodotto scalare.

    Ecco la rappresenatazione con WolframAlpha del prodotto scalare (2,0,0)·(1,1,1);  il modulo di (2,0,0) è 2, la proiezione di (1,1,1) su (2,0,0) - vedi il tratteggio rosso - è 1, il loro prodotto è 2:

    Posso vedere meglio con:

    In fisica, se F rappresenta un vettore forza costante applicato per produrre uno spostamento s, si prende come lavoro il prodotto tra la componente di F diretta come s e l'intensità di s, ossia il prodotto scalare s·F.

La proiezione di un vettore su un'altro è data dalla moltiplicazione di essi e del coseno dell'angolo da essi formato ( direz. e funz. circolari); il valore di questo non dipende dall'ordine con cui prendiamo gli angoli (cos(α) = cos(−α)), per cui possiamo anche scrivere: u·v = u·v = 0 se u = 0 o v = 0,  altrimenti u·v = ||u|| ||v|| cos(θ), dove θ è ∠uv o, equivalenemente, ∠vu.

    Nei casi estremi (i vettori sono paralleli o perpendicolari) è facile vedere che la definizione precedente di prodotto scalare equivale alla seguente:
u·v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃,  se u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃).
    Questa proprietà e la seguente:   u · (v + w) = u · v + u · w    (la possibilità di distribuire il prodotto scalare rispetto alla somma) valgono in generale   (prova a dimostrarlo; controlla qui le dimostrazioni richieste).

    Si può dimostrare che la distanza tra due punti P e Q sulla sfera unitaria è data dall'arcocoseno del prodotto scalare tra P e Q.

Esercizi:   uno  e  soluz.,   due  e  soluz.

Viene chiamato prodotto vettoriale (o cross product, in inglese) di due vettori u e v,  e indicato u×v,  il vettore  che ha intensità pari all'area del parallelogramma che ha per lati u e v e che è diretto secondo la "regola della mano destra" − vedi la figura sottostante − ossia come è diretto l'asse z se u e v sono diretti come l'asse x e l'asse y  (un tempo veniva indicato u∧v).  Se uno dei due vettori, u e v, è nullo o se i due vettori sono allineati, il loro prodotto vettoriale è il vettore nullo.
Nella figura a destra e qui sotto è illustrato il caso in cui u = (0, 2.5, 1) e v = (0, 2, 2). Il prodotto u×v è (3, 0, 0).

    La cosa può essere facilmente verificata direttamente, o come coseguenza del seguente fatto, la dimostrazione del quale lasciamo per esercizio (qui può essere controllata):

u × v =	| | | | |		i		j		k		| | | | |	se u = (ux, uy, uz), v = (vx, vy, vz)
			ux		uy		uz
			vx		vy		vz

dove l'oggetto 3×3 rappresentato sopra (detto determinante, su cui ci si sofferma più in generale alla voce matrici) è una abbreviazione per  i (u_yv_z − u_zv_y) − j (u_xv_z − u_zv_x) + k (u_xv_y − u_yv_x),  che è facile memorizzare pensando allo schema seguente:

| | | | |

i

j

k

| | | | |

| | | | |

i

j

k

| | | | |

| | | | |

i

j

k

| | | | |

ux

uy

uz

ux

uy

uz

ux

uy

uz

vx

vy

vz

vx

vy

vz

vx

vy

vz

    Verifichiamo, usando questa proprietà, che se  u = (0, 2.5, 1)  e  v = (0, 2, 2)  allora  u×v  è  (3, 0, 0):

| | | | |		i		j		k		| | | | |	=  i (2.5·2 − 1·2) − j (0·2 − 0·1) + k (0·2 − 0·2.5)	= 3 i
		0		2.5		1
		0		2		2

    Con WolframAlpha:

 

    Il prodotto vettoriale è definito solo nel caso tridimensionale (se ho due vettori non paralleli il loro prodotto vettoriale esce necessariamente dal piano da essi individuato).

Si ha, immediatamente, che i×i = j×j = k×k = 0, i×j = k, j×i = −k, …     Si ha inoltre (vedi figura a sinistra) che anche per il proddoto vettoriale vale la proprietà distributiva  (se aggiungo w a v l'area del parallelogramma cresce in proporzione):       u × (v + w) = u × v + u × w

Si ha inoltre (vedi figura a destra) che  w ·(u × v)  equivale al volume del parallelepipedo avente i tre vettori come lati  (u×v ha come modulo l'area di una faccia ed è diretto perpendicolarmente a questa; il suo prodotto scalare per w è pari al prodotto del suo modulo per la componente di w perpendicolare alla faccia).  Considerando in diverso ordine i lati del parallelepipedo, possiamo esprimere, equivalentemente, tale volume come  u ·(v × w)  o come  v ·(w × u).

Esercizi:   tre  e  soluz.,   quattro  e  soluz.,   cinque  e  soluz.

  Per svolgere i calcoli con i vettori di può usare lo script "vettori" presente qui, il cui uso illustriamo con alcune operazioni riferite ai vettori (3,0,4) e (1,1,1).

u = (3, 0, 4) = 3i + 4k, v = (1, 1, 1) = i + j + k.
|u| = "diagonale di rettangolo 3×4" = √(9+16) = √25 = 5.
|v| = "diagonale di cubo 1×1×1" = √(1+1+1) = √3.
u+v = (3, 0, 4)+(1, 1, 1) = (4, 1, 5)      u*v = (3*1, 0*1, 4*1) = (3, 0, 4)      u-v = (3, 0, 4)-(1, 1, 1) = (2, -1, 3)
u·v = 3·1+0·1+4·1 = 7       ∠uv = 36.070768650796346° (arrotondando 36.07°)    u×v = (-4,1,3)

    Lo script consente anche di operare con generiche sequenze di numeri. Vedi l'"help".

I prodotti vettoriali sono importantissimi in fisica, per indicare grandezze e relazioni tra esse. Qui ci limitiamo a considerare il momento di una forza, generalizzando considerazioni già svolte in precedenza ( proporzionalità inversa e figure 2):  il momento M di una forza F applicata nel punto P attorno al punto P0 è espresso dalla equazione  M = (P − P0) × F.  Esso è un vettore che ha intensità pari alla distanza P0H tra la retta lungo cui è applicata F e il punto P0  moltiplicata per l'intensità di F (come avevamo già visto),  ed è diretto come illustrato nella figura a fianco, perpendicolarmente al piano individuato da F e P0.     Accanto ai vettori in R³ sono considerati i vettori in Rn con n > 3. Essi si occupano di n-uple di numeri reali e di tabelle di dimensioni maggiori di quelle 3×3, qui considerate. Trovano applicazioni, tra l'altro, in statistica e in economia, oltre che in vari ambiti algebrici e geometrici. Se proseguirai gli studi in ambito matematico avrai occasione di esaminare queste generalizzazioni.

    Ricordiamo che i punti dello spazio sono descrivibili anche mediante coordinate sferiche, in modo analogo a quanto visto per le coordinate polari nel caso di  punti del piano: si prende l'asse z come asse polare, si considera come ρ la distanza dall'origine e si prendono come altre due coordinate la longitudine (o azimut) e la colatitudine (ossia il complementare della latitudine: lo spazio).

  Rette e piani

Una retta nello spazio può facilmente essere descritta generalizzando quanto fatto ( rette tangenti e curve) nel piano.  Ad esempio la retta che passa per i punti (3, 4, 0) e (2, 1, 3) è l'insieme dei punti P che possono essere raggiunti da (3, 4, 0) mediante spostamenti diretti come il vettore (3, 4, 0)-(2, 1, 3) o il vettore opposto:
	P = (3, 4, 0) + (−1, −3, 3)·t   ovvero, indicando P con (x, y, z),     x = 3 − t     y = 4 − 3t     z = 3t.
	Per t > 0 ho i punti che stanno sulla semieretta di origine (3, 4, 0) diretta come il vettore (−1, −3, 3), per t < 0 ho quelli che stanno sulla semiretta diretta come il vettore opposto.
	Vediamo come descrivere il piano che passa per i punti dei tre assi di ascissa 3, di ordinata 3 e di quota 3:

esso è perpendicolare alla retta x = y = z raffigurata a lato, tra l'origine e il punto (5, 5, 5), ossia alla retta diretta come (1,1,1);  un punto P sta nel piano se il vettore da un punto del piano, ad es. (3,0,0), e P è perpendicolare a tale retta, ossia, indicato P con (x,y,z), se    (x−3, y, z) × (1,1,1) = 0, ossia  x−3+y+z = 0, ossia  x+y+z = 3.  Questa è l'equazione del nostro piano, ossia la descrizione di un punto (x,y,z) che sta in esso.     In modo del tutto analogo si trova che il piano contenente il punto  (x0, y0, z0)  perpendicolare al vettore  (a,b,c)  ha equazione  a(x−x0) + b(y−x0) + c(z−x0) = 0 : (x, y, z) che soddisfi questa equazione è tale che il prodotto scalare del vettore (x0,y0,z0)-(x,y,z) per il vettore (a,b,c) sia nullo. Ovviamente, ax+by+cz=m al variare di m sono tutti piani paralleli, perpendicolari al vettore (a,b,c).

3 piani paralleli tracciati con WolframAlpha: plane x/3+y+z*2 = 0, plane x/3+y+z*2 = 1, plane x/3+y+z*2 = 2

Un piano e una sua normale tracciati con WolframAlpha: plane x/3+y+z*2 = 0, vector(1/3,1,2)

Esercizi:   sei  e  soluz.,   sette  e  soluz.,   otto  e  soluz.,   nove  e  soluz.