Esempi di errori nell'applicare le "regole di riscrittura".
Usando la parola "regola" qui si indica uno schema, una descrizione sintetica di una particolare trasformazione.

rimpiazzamento (o sostituzione) di un sottotermine t1 con un sottotermine t2 equivalente

Attenti a: 
•  Sostituire una espressione che sia effettivamente un sottotermine.  Esempi di errore:
x+yz = y+xz   applicando a x+y la regola di riscrittura a+b → b+a:
non si è tenuto conto che x+y non è un sottotermine di x+yz; infatti x+yz, esplicitando tutti i simboli di operazione e delimitando i sottotermini con parentesi, assume la forma:  x+(y·z);
10+x   2+x
———— = ———
 5x     x
   "semplificando" per 5:
si è agito come se il 1o termine della divisione fosse 10 invece che tutto 10+x.
•  Introdurre, quando è necessario, una coppia di parentesi per delimitare la nuova espressione che rimpiazza la vecchia.  Esempi di errore:
Guadagno = Incasso – Spesa1 + Spesa2  ottenuta da:  Guadagno = Incasso – Spese  con la sostituzione:  Spese = Spesa1 + Spesa2:
se non si introduce una coppia di parentesi il secondo termine della sottrazione diventa Spesa1 invece di Spesa1+Spesa2; cioè occorre scrivere: Guadagno = Incasso – (Spesa1 + Spesa2)
3 x/3 + 7 = x + 7
——————
22
3 va moltiplicato per tutto il primo termine della divisione, non solo per 3/x:
  3 x/3 + 7  = 3(x/3 + 7) = x + 21
——————————
222

eliminazione dei reciproci

In alcuni casi si può ottenere un termine che non è definito mentre lo era il termine di partenza o viceversa:

     -1    x
(3/x)   —> —  
           3
  il 1° termine non è definito per x=0, mentre il 2° è sempre definito

distribuzione e raccoglimento del reciproco rispetto alla moltiplicazione

L'operazione di passaggio al reciproco si può distribuire rispetto alla moltiplicazione, non rispetto all'addizione:
1  non equivale a  1 + 1
————
x + yxy

trasformazioni di divisioni

In alcuni casi si può ottenere un termine che non è definito mentre lo era il termine di partenza o viceversa:

  2·x·x    2·x
  ————— —> ——— 
   3·x      3
  il 1° termine non è definito per x=0, mentre il 2° è sempre definito

  5        5
——————— —> —(x-2) 
3/(x-2)    3
  il 1° termine non è definito per x=2, mentre il 2° è sempre definito

moltiplicazione per 0

Si può ottenere un termine che non è definito mentre lo era il termine di partenza, o viceversa. Ad esempio la seguente trasformazione ha dato luogo al termine x2 che è definito per qualunque valore si assegni ad x, mentre il termine di partenza non era definito per x negativo:
    √x · (4 – 5 + 1) + x2  →  √x · 0 + x2  →  0 + x2  →  x2

raccoglimento a fattor comune

Attenti: spesso per effettuare dei raccoglimenti occorre prima trasformare un termine T in T·1 o 1·T:
  a + b a  →  1·a + b a  →  (1 + b) a       27·0.8 − 27  →  27·0.8 − 27·1  →  27·(0.8−1)  →  −27·0.2 = −5.4

distribuzione della potenza e della radice rispetto alla moltiplicazione

In alcuni casi, distribuendo, si può ottenere un termine che non è definito mentre lo era il termine di partenza:
(xy)1/2, cioè √(xy), se x e y sono negativi è definito in quanto xy diventa positivo, mentre x1/2·y1/2, cioè √x·√y, non è definito: per x = –2, y = –8  √(xy) = √16 = 4 mentre √x·√y = √–2·√–8 è indefinito.
  E viceversa:
passando da  √x·√y  a  √(xy)  il dominio viene allargato.
 Attenti: potenze e radici si possono distribuire rispetto alla moltiplicazione, non rispetto all'addizione:
√(x + y)  non equivale a  √x + √y   e   (x + y)3  non equivale a  x3+ y3.

particolari "semplificazioni"  (a-a → 0,  a/a → 1)

Attenti: l'uso di queste semplificazioni – così come il ricorso a proprietà delle potenze – può dar luogo a un termine che è definito anche in casi in cui non lo era il termine di partenza:
•  √x – √x + 2x  →  2x   un termine definito solo per x≥0 diventa un termine definito per ogni valore di x
•  (u/u – 2)u  →  –u   un termine definito solo per u diverso da 0 diventa un termine definito per ogni valore di u
•  b–2·b3  →  b   usando le proprietà delle potenze: un termine definito solo per b diverso da 0 diventa un termine definito per ogni valore di b

Uso di espressioni come "cancello", "porto fuori", "semplifico", … senza tener conto delle diversità rispetto al linguaggio comune

In:
 
            *   *
   (3x+3)(x-1-x+1)+4 → (3x+3)+4 → 3x+3+4
          *   *
si è "cancellato" facendo x–x → "niente" e 1–1 → "niente", mentre si sarebbe dovuto fare x–x → 0 e 1–1 → 0  (ottenendo: (3x+3)·0+4 = 0+4 = 4)
In:
   *  *
   y+by
   ———— → b/a
    ay
 
     *
si sono "cancellate" le y di sopra e la y di sotto semplificando per y, mentre la semplificazione dovrebbe avvenire dividendo il termine di sopra e quello di sotto per y e poi facendo y/y → 1 (in pratica per il primo y di sopra si è invece fatto y/y → "niente"), in modo da ottenere (1+b·1)/(a·1) = (1+b)/a;  ovvero facendo (in forma scritta o mentalmente) la trasformazione y+by → 1·y+b·y → (1+b)y e poi "eliminando" il fattore y comune al secondo termine della divisione, ay.

Invenzione di regole in analogia con regole effettivamente impiegabili

•   posso fare
    √(4·9) = √4·√9
non posso fare
    √(4+9) = √4+√9		 la radice è distribuibile rispetto alla moltiplicazione, non rispetto alla addizione.
•   posso fare
    5(x+y) = 5x+5y  e  -(a+b) = -a-b
non posso fare		 posso distribuire i fattori moltiplicativi e le negazioni rispetto alla addizione, non rispetto alla divisione
 
   2         2y
  ———·y = ———————
  x+y     (x+y)·y
 
né
    -(a·b) = (-a)·(-b)
•   posso fare
    (5·2)3 = 53·23;
non posso fare
    45·2 = 45·42		 posso distribuire l'esponente rispetto alla moltiplicazione, non posso distribuire la base.