Potenze (2)

  L'operazione di elevamento a potenza è definita anche per esponenti non interi. Infatti una calcolatrice di fronte a  4 [x^y] 7.5 [=]  non segnala errori.

Anche in questi casi sono vere le formule:

ab· ac = ab + c     a-b =  1     e quindi anche     ab  = ab - c — — ab ac

[La terza formula può essere derivata dalle prime due:

ab  = ab·  1  = ab· a-c = ab + (-c) = ab - c  ] — — ac ac

Vale anche la formula:

(ab )c = ab · c

È facile vedere che è vera nel caso degli esponenti interi:

(35)4 = 35 · 35 · 35 · 35 = 3 5 + 5 + 5 + 5 = 35·4

Si può dimostrare che vale in generale.  Vediamone un esempio d'uso:

100006 = (104)6 = 104·6 = 1024

  Come viene calcolato il valore di a^b quando b non è intero?

    a^1/2 e a^1/3 stanno rispettivamente per √a e ³√a (la radice cubica di a, cioè il numero che al cubo fa a). Ciò è in accordo con la prima formula (a^ba^c= a^b+c):
        il quadrato di  a^1/2  è  a^1/2·a^1/2 = a^1/2+1/2 = a¹ = a
        il cubo di  a^1/3  è  a^1/3·a^1/3·a^1/3 = a^1/3+1/3+1/3 = a¹ = a
    Più in generale se b ha lo stesso valore di 1/n, a^b vale ⁿ√a (la radice n-esima di a).
    Ad esempio se con una CT batto  32 [x^y] 0.2 [=]  ottengo come risultato 2. Infatti 0.2 = 1/5 e 2⁵ = 32.

    Per dare un'idea di come viene calcolato a^b in altri casi facciamo un esempio.

Se con una CT batto  32 [x^y] 0.4 [=]  ottengo come risultato 4. Ciò accade perchè:

•  0.4 = 4/10 = [semplificando] = 2/5 = 2·(1/5)

•  la CT interpreta 320.4 come 322·(1/5) cioè come (322)1/5

•  322 fa 1024 e 5√1024 fa 4; infatti 45 = 1024.

    Sulle potenze a esponente non intero si ritorna alla voce strutture numeriche.

 Nota 1.  x^y, per x<0 e y non intero, può non essere definito.
    Ad esempio (–32)^0.5 = (–32)^1/2 = √(–32) che non è definita, mentre (–32)^0.2 = (–32)^1/5 = ⁵√(–32) è definita e vale –2.
    Nel software occorre verificare come opera l'elevamento a potenza.  In genere "x alla y" è indicato x^y ma è definito solo per x ≥ 0 in quanto il software svolge il calcolo usando un algoritmo che è definito solo per tali valori, ossia per gli x per cui "x alla y" è definito per ogni y.  Ad esempio di fronte a (−32)^(1/5), che come abbiamo visto vale –2, in genere si ottiene un messaggio di errore.
Vediamo come si può estendere la definizione:  basta calcolare abs(-32)^(1/5)*sign(-32), ovvero definire rad5 <- function(x) abs(x)^(1/5)*sign(x) e calcolare rad5(-32).  In modo simile la si può estendere nell'altro software.

Nota 2.  Le formule riportate all'inizio sono vere in tutti i casi in cui sono definite, ma occorre stare attenti a non usarle per trasformare termini definiti in termini non definiti o viceversa.
    Ad esempio (–2)^1/2·(–2)^–1/2, non è definita, per cui non è definita neanche la formula (–2)^1/2·(–2)^–1/2 = (–2)^{1/2 + –1/2}. Non posso quindi concludere che (–2)^1/2·(–2)^–1/2 equivale a (–2)^{1/2 + –1/2}, che è invece definito ed equivale a (–2)⁰, cioè a 1.
    Analogamente ((–4)^1/2)² non è definito, per cui non è definita neanche la formula ((–4)^1/2)² = (–4)^1/2·2. Non posso quindi concludere che ((–4)^1/2)² equivale a (–4)^1/2·2, che è invece definito ed equivale a (–4)¹, cioè a –4.  Invece ((–4)² )^1/2 è definito in quanto (–4)² = 4².

Esercizio1  (e  soluzione),   Esercizio2  (e  soluzione)
 

Esercizio per la scuola di base  (soluzione)