Numeri
trascendenti
Si dice algebrico un numero (reale o complesso) che non è
trascendente, ovvero che è soluzione di qualche equazione polinomiale a coefficienti interi.
Si può provare che π e che e, oltre ad essere irrazionali,
sono trascendenti. Le dimostrazioni sono recenti, rispettivamente
del 1882 e del 1873. Tuttora vi sono molti numeri che si sanno esprimere mediante gli
usuali simboli funzionali e che non si sa se siano trascendenti o no (ve ne sono anche che non
si sa neanche se siano irrazionali o no: vedi).
Per citare
due esempi, ricordiamo che si è dimostrato solo, rispettivamente, nel 1979 e nel 2003
che
Osserviamo, per finire, che la terminologia con cui vengono classificati i numeri e le
funzioni ha un'origine storica, legata a un periodo in cui le conoscenze e gli usi della matematica era
molto limitati rispetto agli attuali, e non deve essere confusa con i significati che "elementare",
"trascendente", … hanno in altri ambiti. Ricordiamo, per esempio, i numeri non trascendenti ora richiamati e la funzione fattoriale,
considerata in uno degli esercizi precedenti, che non è
una funzione elementare.