Storia

Quando per descrivere il piano invece delle coordinate cartesiane si usano i numeri complessi si parla di piano di Argand, dal nome del matematico francese che, verso la fine del XIX sec., ha avuto l'idea di usare i numeri complessi per descrivere figure e trasformazioni geometriche, e, in particolare, di rappresentare le rotazioni di 90° come moltiplicazioni per i.
    Ma i numeri complessi sono stati "inventati" nel XVI sec. come "trucco" per risolvere alcune equazioni polinomiali di 3° grado. Il procedimento è stato descritto in quegli anni dall'italiano Gerolamo Cardano, anche se probabilmente non è stato lui ad avere l'idea iniziale. Il termine numeri immaginari fu introdotto (circa 100 anni dopo) da Cartesio, e il simbolo i fu introdotto (dopo circa altri 100 anni) da Eulero (prima si usavano altri nomi e altre notazioni).

Si era trovato che un'equazione del tipo  x³ + p x + q = 0  ha come soluzione rispetto ad x il numero  ³√(R-q/2) - ³√(R+q/2)  dove  R = √((p/3)³+(q/2)²)
    Ad esempio per  x³ + 6 x - 2 = 0  si trova  R = √(2³+1²) = √9 = 3  da cui  x = ³√4 - ³√2. È possibile verificare (anche con una calcolatrice) che si tratta effettivamente di una soluzione.
   Ma per  x³ - 15 x - 4 = 0  si trova  R = √(-5³+2²) = √(-121), che non sarebbe definito, mentre si sa che una soluzione ci deve essere (le funzioni polinomiali di 3° grado assumono valori sia positivi che negativi quindi ci si aspetta che assumano anche il valore 0). Si è allora provato a inventare i per indicare √(-1) e vedere se con qualche manipolazione algebrica si riesce a ricavare la soluzione.
√(-121) diventa 11i e la soluzione diventerebbe x = ³√(2 + 11i) - ³√(2 - 11i)
    Si trova che (2+i)³ = (2+i)(2+i)(2+i) = (4+4i-1)(2+i) = (3+4i)(2+i) = (6+11i-4) = 2+11i  e analogamente che (2-i)³ = 2-11i, per cui si ha:
x = ³√(2 + 11i) - ³√(2 - 11i) = 2+i - 2-i = 4, che è effettivamente una soluzione della nostra equazione.

    Dunque, i numeri complessi sono stati introdotti come "numeri fittizi" per potere estendere l'uso delle formule risolutive di alcune equazioni polinomiali e trovare i numeri reali che le risolvono. Non c'era, invece, alcun interesse a trovare i numeri complessi che risolvono una equazione, interesse che è nato, invece, con gli usi più recenti.
    L'uso dell'aggettivo complessi è stato introdotto da Gauss nel XIX secolo, per sottolineare che si tratta di numeri composti da due parti.  Il termine "numeri reali" è nato prima, per contrapposizione ai numeri immaginari.