Esercizio

Verifica sperimentalmente che
•  per x → 0   sin(x) - x  ≈  -x³/6
•  per x → ∞   (1+1/x)^x2 → ∞

•  Verifichiamo la prima relazione con un programmino in JavaScript, ma si potrebbe usare un qualunque altro linguaggio di programmazione.  Calcolo il rapporto tra x-sin(x) e x³/6 per x = 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

with (Math) {

function F(x)
  {return (x-sin(x))/(pow(x,3)/6) }
x=1; for(i=0;i<12;i=i+1) {x=x/2; document.write(F(x),"<br>") }

}

0.9875741469982557
0.9968796462631921
0.9992190405805275
0.9998047056641894
0.9999511730100039
0.9999877930395087
0.9999969482414599
0.9999992370576365
0.9999998092534952
0.999999952269718
0.9999999878928065
0.9999999962747097

Appare evidente che il rapporto tende ad 1, ovvero che  sin(x) - x  ≈  -x³/6

•  Verifichiamo anche il limite con un programmino in JavaScript.  (1+1/x)^x2 lo scrivo come pow(1+1/x,pow(x,2))
Calcolo il valore della funzione per x = 2, 4, 8, 16, ...

with (Math) {

function F(x)
  {return pow(1+1/x,pow(x,2)) }
x=1; for(i=0;i<10;i=i+1) {x=x*2; document.write(F(x),"<br>") }

}

5.0625
35.52713678800501
1878.2847681553924
5498045.288861883
48383428020804.36
3.801328232297646e+27
2.3641271592255927e+55
9.179181607727225e+110
1.3864679149979051e+222
Infinity

Appare evidente che il limite è ∞