Infiniti e infinitesimi

  Confronto tra infiniti

Due cineclub, Ca e Cb, presentano le seguenti tariffe: il primo 10 € di tessera annuale più 3 € a spettacolo; il secondo 16 € di tessera annuale più 3 € a spettacolo.  I film proiettati sono delle stesso livello, ma il secondo cineclub ha una sala più accogliente (poltrone più comode, suono migliore, …).  Quanto mi verrebbe a costare in più il cineclub Cb?
    Studio in generale la situazione rappresentando il costo totale annuo con dei grafici.  Siano A(n) e B(n) i costi annuali per, rispettivamente, Ca e Cb se vi vedo n film.  Ho (facendo variare nel grafico per semplicità n tra i numeri reali):

  A(n) = 3·n+10                               B(n) = 3·n+16

    Al crescere del numero di film visti, i costi totali tendono entrambi all'infinito, mantenendo una differenza costante di 6 €.  Ma la distanza tra i due grafici tende ad essere trascurabile rispetto al valore delle ordinate:  se vedo molti spettacoli non c'è praticamente differenza tra quanto spenderei complessivamente nei due cineclub.
    Il fatto che A(n) e B(n) tendono ad essere "praticamente" uguali possiamo esprimerlo dicendo che il rapporto tra essi, B(n)/A(n) tende ad 1:
B(5)/A(5) = (3·5+16)/(3·5+10) = 31/25 = 1.24,
B(10)/A(10) = (3·10+16)/(3·10+10) = 46/40 = 1.15,
B(40)/A(40) = (3·40+16)/(3·40+10) = 136/130 = 1.0461…

    Per descrivere quanto messo ora in luce si usa dire che, al crescere di n, A(n) e B(n) sono asintoticamente uguali (o equivalenti);  in simboli:  A(n) ≈ B(n)  per n → ∞.
    Posso precisare questo modo di dire usando il concetto di limite per "definire"  F(x) e G(x)  (che tendano a ∞ per x → α)  asintoticamente uguali per x → α  quando:

lim_{x → α} F(x) / G(x) = 1

Nel nostro caso, per n → ∞:

A(n)  =  3n+10  =  3+10/n  →  3+0  = 1 ——— ——— ——— —— B(n) 3n+16 3+16/n 3+0

Nota.  Nel caso del nostro esempio iniziale, ovviamente, nella realtà non ha senso far tendere a ∞ il numero n degli spettacoli visti in un anno. Al massimo n potrà valere qualche centinaio, se il cineclub è aperto tutti i giorni.  Tuttavia è comodo astrarre dalla situazione e far finta che ciò possa accadere:  pensando ai termini A(n) = 3n + 10  e  B(n) = 3n + 16  e al loro comportamento per n → ∞ è più facile ragionare che facendo i calcoli caso per caso.  Abbiamo già osservato in molte altre occasioni il fatto che il passaggio al modello matematico astratto (se fatto non a sproposito) serve non per complicarsi la vita ma per rendere più semplice l'esame della situazione.

  Qualche altro esempio.

•   Per x → ∞ i grafici delle funzioni tendenti a ∞ x → 2x+2 e x → 2x-7 "tendono a confondersi" con quello di x → 2x :  man mano che scelgo un "rettangolo cartesiano" più grande la distanza tra i grafici tende ad annullarsi:

Il motivo di ciò è che, per x → ∞, i contributi dei termini 2 e -7 tendono a diventare trascurabili rispetto al valore complessivo di, rispettivamente, 2x+2 e 2x-7.  È una situazione analoga a quella di At(x) e di Bt(x) dell'esempio iniziale. E infatti:

2x + 2  = 1 +  2   →  1+0 = 1 ——— —— 2x 2x

2x – 7  = 1 +  –7   →  1+0 = 1 ——— —— 2x 2x

•   Se traccio il grafico di F: x → (sin(x) + x/2)² ottengo una rappresentazione come quella qui a destra: una curva che oscilla con apparente andamento parabolico.     Provo a confrontare, per x → ∞, F(x) con x²:
F(x)   =   (sin(x) + x/2)2   =  (  sin(x) + x/2  ) 2 —— ————— ————— x2 x2 x
per  x → ∞     sin(x) + x/2  =  sin(x)  + 1/2    →  0 + 1/2 = 1/2 ————— —— x x
[ per x→∞  sin(x)/x → 0 in quanto è compreso tra 1/x e −1/x entrambi i quali tendono a 0, e il passaggio al limite conserva la relazione "≤" ]
Dunque:  per  x → ∞   F(x)/x2 → (1/2)2 = 1/4, e quindi F(x) / (x2/4) → 1.     Posso concludere che, per x → ∞,   F(x) ≈ x2/4.

•   I termini F(x) = 2+1/x, G(x) = x+1/x e H(x) = 1/x, che per x → ∞ hanno comportamenti molto diversi, per x → 0+ e per x → 0- tendono tutti a ∞ e a –∞.  I fattori additivi  2  in F(x) e  x  in G(x),  man mano che x si avvina a 0 e 1/x cresce,  diventano trascurabili rispetto al valore complessivo.  Si può dedurre che sia F(x) che G(x) tendono a comportarsi come se avessero solo il fattore 1/x, ossia come H(x).  I grafici, a destra, sembrano confermare ciò.  Provo a usare la definizione, con 0 come α.
per  x → 0     x + 1/x   =   x2 + 1   →   02 + 1   = 1 ——— ——— ——— 1/x 1 1
per  x → 0     2 + 1/x  =  2x + 1   →  0 + 1  = 1 ——— ——— ——— 1/x 1 1
Dunque:   per  x → 0,   x + 1/x  ≈  2 + 1/x  ≈  1/x.

La parola asintoticamente richiama il termine asintoto  [ figure 2, distanza tra figure] e ricorda il fatto che se  f1(x) ≈ f2(x) per x → α  allora i grafici di f1 e f2, per l'ascissa che tende ad α, tendono a confondersi.  Nell'ultimo esempio i grafici di F, G ed H avevano effettivamente tutti l'asse y come asintoto.     Si noti, tuttavia, che non è detto che se due funzioni f1 e f2 hanno grafico con uno stesso asintoto si abbia che f1(x) / f2(x) → 1.  Siano ad esempio H(x) = 1/x, K(x) = 1/x², L(x) = 3/x.  I loro grafici per x → 0+ hanno l'asse y come asintoto ma il loro rapporto non tende a 1: •  H(x)/K(x) = 1/x / (1/x²) = x   che non tende a 1, ma a 0;  in altre parole, 1/x² all'avvicinarsi di x a 0 cresce più velocemente di 1/x, per cui i due numeri assumono rapidamente ordini di grandezza molto diversi, non tendono ad essere uguali (pur tendendo entrambi a ∞); •  H(x)/L(x) → 3 ≠ 1,  ovvero  H(x)  ≈  3·L(x).

    Quanto valgono  h  e  k  nei due casi seguenti?
        √(x⁸+x) + 7·x⁸  ≈  h·x^k per x → 0     √(4·cos(x)+9·x⁶ )  ≈  h·x^k per x → ∞
− per x → 0 x⁸ va a 0 più velocemente di x, quindi √(x⁸+x)+7·x⁸  va a 0 come √x; quindi h = 1, k = 1/2;
− per x → ∞ 4·cos(x) è trascurabile rispetto a 9·x⁶, quindi √(4·cos(x)+9·x⁶ ) va a ∞ come 3·x³; quindi h = 3, k = 3.
    Verifica usando WolframAlpha:

    Approfondiamo quanto visto con i precedenti esempi.

  Sostituire un termine con un altro asintoticamente equivalente è molto spesso comodo per determinare limiti del tipo "∞/∞".  Infatti lo studio del limite di F(x)/G(x) non cambia se sostituisco il termine F(x) con H(x) tale che H(x)≈F(x)  o  sostituisco il termine G(x) con H(x) tale che H(x)≈G(x).

Esempio:  lim_{x → ∞} (sin(x) + x/2)² / (3 + 2x²)

Sia (sin(x) + x/2)² che 3 + 2x² tendono a ∞, quindi siamo in un caso "∞/∞".

Abbiamo visto che, per x→∞, (sin(x) + x/2)² ≈ x²/4.
3 + 2x² ≈ 2x². Infatti (3+2x²)/(2x²) = 3/(2x²) + 2x²/(2x²) = 3/(2x²) + 1 → 0+1 = 1.
Quindi:

lim_{x → ∞} (sin(x) + x/2)² / (3 + 2x²) = lim_{x → ∞} x²/4 / (2x²) = lim_{x → ∞} 1/4/2 = 1/8.

  Siano F(x) e G(x) tendenti all'infinito per x → α.  Se  F(x) ≈ G(x)   si scrive anche, convenzionalmente,   F(x) = G(x) + ...   per indicare la presenza di un termine che per x→α è trascurabile rispetto a G(x).

per x → α F(x) è uguale a G(x) a meno di un termine trascurabile rispetto a G(x)

Facendo riferimento ad alcuni degli esempi visti sopra possiamo dunque scrivere:
• per x → ∞, 2x + 7 = 2x + … :  per → ∞, 7 è trascurabile rispetto a 2x.
• per x → 0, x + 1/x = 1/x + … :  per → 0, x è trascurabile rispetto a 1/x.
• per x → ∞, sin(x) + x² = x² + … :  per → ∞, sin(x) è trascurabile rispetto a x².

Calcoliamo velocemente  lim _{x → ∞} (x + 3 x²) / x².  Per x → ∞  x + 3 x² ≈ 3 x², ovvero  x + 3 x² = 3 x² + …  Quindi:
    lim _{x → ∞} (x + 3 x²) / x² = lim _{x → ∞} 3 x² / x² = 3.

In generale,  per x → ∞  xh è trascurabile rispetto a xk  se 0 < h < k.  Vedi il grafico qui a destra.     Quando F(x) è un infinito trascurabile rispetto a G(x) si dice anche che F(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a G(x).  Quindi, per x → ∞, x² è trascurabile rispetto a x³.     Un altro esempio di limite:   lim x → ∞ (√x + x3 + x – 130) / (3x3 + 2). √x + x3 + x – 130 ≈ x3 in quanto √x, x e –130 sono tutti trascurabili rispetto a x3.  Analogamente 3x3 + 2 ≈ 3x3.  Quindi il limite equivale a:               lim x → ∞ x3 / (3x3) = lim x → ∞ 1/3 = 1/3

  Quando, per x → α, F(x) e G(x) tendono all'infinito e F(x) ≈ k·G(x), ossia F(x)/G(x) → k (≠0), si dice che F(x) e G(x) sono due infiniti dello stesso ordine.

Abbiamo appena visto che  √x + x³ + x – 130  e  3x³ + 2  per x → ∞ sono infiniti dello stesso ordine.

 Confronto tra infinitesimi

Considerazioni e definizioni analoghe si hanno per il caso in cui F(x) e G(x) per x → α (finito o infinito) tendano a 0, ossia siano degli infinitesimi.

Di fronte a  lim _{x → 0} (x²+3x)/(2x+5x⁴),  che è del tipo "0/0", cerchiamo di capire come si possono approssimare x²+3x e 2x+5x⁴ quando x è vicino a 0.

I grafici che seguono mettono in luce che, per x→0, x²+3x e 3x tendono a confondersi, ovvero in 0 hanno la stessa pendenza, ovvero y=3x è la retta tangente a x²+3x per x=0 (la retta tangente al grafico di una funzione F per x=p è tra le rette passanti per (p,F(p)), quella che "meglio approssima" il grafico).  La cosa del resto è facimente verificabile usando la derivazione (vedi):

D _x=0 (x²+3x) = (2x+3) _x=0 = 3, e la retta per (0,0) con pendenza 3 è y = 3x.

    Anche in questo caso posso osservare che per x → 0  (x²+3x)/(3x) = x/3+1 → 1  ed esprimere ciò dicendo che  x²+3x  equivale asintoticamente a 3x:  x²+3x ≈ 3x  (scrivo anche x²+3x = 3x + … per indicare la presenza di un termine trascurabile rispetto a 3x, per x → 0).
    Analogamente per x → 0  (2x+5x⁴)/(2x) = 1+5/2·x³ → 1, ovvero  2x+5x⁴  equivale asintoticamente a 2x:  2x+5x⁴ ≈ 2x.

    Dunque  lim _x→0 (x²+3x) / (2x+5x⁴) = lim _x→0 3x / (2x) = lim _x→0 3/2 = 3/2.

Se per x → α  F(x) è trascurabile rispetto a G(x) si dice anche che F(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a G(x).  Si dice che sono infinitesimi dello stesso ordine se F(x)/G(x) → k ≠ 0.   Studiamo il comportamento di H(x) = 1/x, K(x) = 1/x², L(x) = 3/x, funzioni già considerate sopra, ma questa volta per x → ∞. Sono tutte e tre infinitesime, ossia hanno l'asse x come asintoto. G(x)/F(x) = 1/x2/(1/x) = 1/x → 0 per x → ∞ :  1/x2 al crescere di x si avvicina a 0 più velocemente di 1/x, ossia è un infinitesimo di ordine trascurabile per x → ∞; H(x)/F(x) → 3,  ovvero  H(x)/(3·F(x)) → 1,  ovvero  H(x) ≈ 3F(x)  per x → ∞.

    Per inciso, osserviamo, con la figura seguente realizzata con  plot x^2, 1/x^2, 2-1/x^2, 2, x=-5..5, y=-3..4  mediante WolframAlpha,  che  usando i concetti di estremo inferiore, o "inf", e di estremo superiore, o "sup" ( distanza tra figure),  possiamo dire che  l'inf degli output di  x →x²  e di  x →1/x²  è 0 e che il sup di quelli di  x →2-1/x²  è 2.

   Ovviamente, lim_{x → 0} sin(x) = 0, essendo sin continua.
Per caratterizzare il modo in cui sin(x) tende a 0, osserviamo che per x → 0 i grafici  y = sin(x)  e  y = x  tendono a confondersi, come si vede nella figura seguente, estratta da questa animazione:

  Sostituire un termine con un altro asintoticamente equivalente è comodo per determinare anche limiti del tipo "0/0".

• Esempio:  lim_{x → 0} (sin(x) + x/2) / (2x + x²)

Sia  (sin(x) + x/2)  che  2x+x²  tendono a 0, quindi sono in un caso "0/0".

So che, per x→0, sin(x) = x+o(x), da cui sin(x)+x/2 = 3x/2+... ≈ 3x/2, e che, per x→0, 2x+x² ≈ 2x. Quindi:

lim_{x → 0} (sin(x) + x/2) / (2x + x²) = lim_{x → 0} 3x/2 / (2x) = lim_{x → 0} 3x/(4x) = 3/4.

• Un altro es.:  lim _x→∞ (sin(1/x)+1/x²) / (1/x)

Poichè 1/x → 0 per x → ∞, siamo in un caso "0/0".
È comodo [ limiti] indicare 1/x con u e ripensare il limite come:

lim_{u → 0} (sin(u) + u²) / u

Per u → 0, sin(u) ≈ u, quindi sin(u)+u² ≈ u+u² ≈ u (in quanto u² va a 0 più, velocemente di u). Dunque:

lim_{u → 0} (sin(u) + u²) / u = lim_{u → 0} u / u = lim_{u → 0} 1 = 1

• Ancora un es.:  lim _x→1 ((x-1)²+(1-x)³+√(x²-1)) / ((1-x)-(x-1)⁴)

Innanzi tutto osservo che considero x→1+ (per x<1  √(x²-1) non è definito) e che si tratta di un caso "0/0".
√(x²-1) = √((x-1)(x+1)) ≈ √(x-1)√2 = √2(x-1)^1/2
(x-1)²  e  (x-1)³  vanno a 0 più velocemente di (x-1)^1/2
e quindi   (x-1)²+(1-x)³+√(x²-1) ≈ √2(x-1)^1/2
Inoltre  (x-1)⁴ va a 0 più velocemente di x-1 per cui  (1-x)-(x-1)⁴ ≈ 1-x = -(x-1)
Concludendo, mi riconduco a:

lim_{x → 1+} -(√2(x-1)^1/2) / (x-1) = lim_{x → 1+} -√2 / (x-1)^1/2 = -√2 / 0+ = –∞

Potevo valutare il limite soprastante anche osservando direttamente che  (x-1)^1/2/(x-1) → ∞ per x → 1+  in quanto (x-1) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x-1)^1/2.

 Altri esempi

•  Per x → ∞,  (x³ – 2x² + 2)/(x + 1) + x² – x   =   (x³+...)/(x+...) + x² + ... ≈ x³/x + x² = x² + x² = 2x²

•  Per x → 0,  (sin(x) + tan(x))²  =  (sin(x) + sin(x)/cos(x))²  ≈  (x + x/1)² = 4x²  (in quanto cos(x) → 1)

•  Attenzione.   È errato procedere così:  per x → 0  sin(x) + x³ - x = x + ... + x³ - x = x³ + ...  ≈ x³
    Infatti sostituendo "sin(x)" con "x + ..." abbiamo inteso che "..." andasse a 0 più velocemente di x non di x³.
    Vedremo in una voce successiva (e verificheremo nel prossimo esercizio) che sin(x)-x ≈ -x³/6.

•  Attenzione.   È errato procedere così:  per x → ∞  (1+1/x)^x2 = (1+...)^x2 ≈ 1^x2 = 1
    Infatti non è detto che se F(x) ≈ f(x) e G(x) ≈ g(x) allora F(x)^G(x) ≈ f(x)^g(x)
    Vedremo in una voce successiva (e verificheremo nel prossimo esercizio) che per x → ∞  (1+1/x)^x2 → ∞

  Ancora un esempio

Di fronte a  lim x → 0 (cos(x) – 1) / (sin(x)2 + tan(x)2), che è del tipo "0/0", non ho problemi ad approssimare con un polinomio il secondo termine del rapporto, tetendo conto di quanto visto in precedenza:

sin(x)2+tan(x)2 ≈ x2 + x2 = 2x2     Per il primo termine del rapporto, cos(x) – 1, ragioniamo facendo riferimento alla figura a fianco.     Cercando di ripetere quanto fatto sopra per studiare come si comporta sin(x) per x→0, vediamo come approssimare il grafico di x → cos(x)–1 con una funzione polinomiale.     In questo caso sembra che l'andamento vicino a x = 0 sia più o meno quello di una parabola, ossia il grafico di una funzione del tipo x → h·x². Proviamo dunque a vedere se cos(x)–1 ≈ h·x² per qualche h diverso da 0.     Studiamo sperimentalmente (con una calcolatrice o un programma) il limite per x → 0

Con un programmino in JavaScript (che calcola le uscite per x = 1/2, 1/4, 1/8, ...): with (Math) { function F(x)   {return (cos(x)-1)/(x*x) } x=1; for(i=0;i<14;i=i+1) {x=x/2; document.write(F(x),"<br>") } }

-0.48966975243850897 -0.49740125262968427 ... -0.49999999022111297 -0.49999999813735485 -0.5 -0.5

Ovvero, con la "calcolatrice" accessibile da qui:

Metto  (cos(A)-1) / (A*A)  in (2)  e  1e-1   in A e clicco [=],
poi metto   1e-2   in A e clicco [=], poi  1e-3,  ...
Ottengo le uscite: -0.49958347219741783,  -0.4999958333473664,  -0.49999995832550326,  ...

Dalle uscite si può congetturare che il limite sia –1/2.  Si può effettivamente dimostrare che:

Abbiamo visto questa importante approssimazione di cos(x)  (≈ 1-x²/2).  Ma potevamo studiare direttamente il limite della funzione iniziale, ad esempio con la "calcolatrice" considerata sopra:

Metto  ((cos(A) - 1) / (pow(sin(A),2) + pow(tan(A),2) )  in (2)  e  1e-1   in A e clicco [=],
poi metto   1e-2   in A e clicco [=], poi  1e-3,  ...
Ottengo le uscite: -0.2493708292868594,  -0.24999374958340134,  -0.24999993749604257,  ...

Potevo anche utilizzare direttamente WolframAlpha:
(cos(x) - 1) / (sin(x)^2 + tan(x)^2) as x -> 0	→