Definizioni di "distanza"
Nel linguaggio comune con "distanza"
tra due località A e B a seconda dei casi si può
intendere distanza in senso temporale (ma dipende dai mezzi di
trasporto impiegati per raggiungere B da A, dalle caratteristiche del
percorso che si deve seguire, …), o distanza lungo la strada (è
la lunghezza della traiettoria che deve essere percorsa) o distanza
in linea d'aria.
In genere, dal contesto del discorso
si comprende a quale distanza ci si riferisce.
In matematica parlando di distanza tra A e B occorre che sia chiaro qual è lo spazio S di cui stiamo considerando i punti A e B e come è stata definita la distanza, intesa come funzione che a due punti di S associa un numero reale non negativo.
Per il piano cartesiano le
distanze più usate sono le seguenti:
Dati due punti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), se indichiamo con Δx la variazione orizzontale da P1 a P2 e con Δy quella verticale, la distanza euclidea è così definita:
d(P1, P2) = √( (Δx)2 + (Δy)2 ) = √( (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 )
Questo concetto è un modello matematico della distanza in linea d'aria.
La distanza urbanistica è
definita nel modo seguente:
d(P1, P2) = |Δx| + |Δy| = |x2 – x1| + |y2 – y1|
Questo concetto è un modello matematico della distanza tra due incroci in una città in cui le strade sono tutte disposte orizzontalmente o verticalmente o delle distanze per un robot che possa muoversi solo orizzontalmente o verticalmente.
La distanza x1, x2 →
|x1 – x2| = |Δx| usualmente considerata sulla retta numerica
può essere considerata un'evidente estensione della distanza
urbanistica al caso monodimensionale; ma è anche
un'estensione della distanza euclidea, infatti: √((Δx)2)
= |Δx|.
Nota. La distanza d sul piano (sulla
retta, nello spazio tridimensionale, …) può essere
definita anche in modi diversi da quelli che abbiamo considerato.
Devono essere comunque rispettate alcune condizioni, affinché,
in matematica, si possa parlare di distanza:
• d(P,P) = 0 (un
punto dista 0 da sé stesso) e d(P,Q) ≠ 0 se P ≠ Q
• d(P,Q) = d(Q,P) (la
distanza deve essere simmetrica – cioè commutativa
• d(P,T) ≤ d(P,Q) + d(Q,T) (intuitivamente: raggiungere direttamente T non può essere più lungo del raggiungerlo passando per un altro punto; è detta diseguaglianza triangolare
in quanto nel caso della distanza euclidea equivale alla proprietà che in un triangolo la
somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza
del terzo).
La distanza in senso temporale,
invece, non soddisfa la condizione di simmetria: se per andare da A a
B devo percorre una strada in salita, la distanza da A a B è
minore della distanza da B a A.
In presenza di "sensi unici" anche la distanza lungo la strada non soddisferebbe la condizione di simmetria.
Esiste, comunque, anche un'area della matematica che si occupa di queste "distanze", anche se le chiama in modo diverso ("quasidistanze").
Euclide è il nome del matematico greco vissuto intorno al 300 a.C. che nell'opera Gli Elementi (probabilmente con la collaborazione di vari altri matematici) ha dato una organizzazione sistematica a gran parte delle conoscenze geometriche ed aritmetiche fino ad allora conosciute nel mondo mediterraneo, organizzazione che è stata punto di riferimento e prototipo per gli studi matematici per molti secoli.
In essa, in particolare, sono illustrate e dimostrate molte proprietà della geometria piana; esse sono svolte in modo molto dettagliato, mescolando ragionamenti e definizioni rigorose ad argomentazioni e descrizioni basate sull'intuizione fisica, simili a quella sopra riportata per giustificare il "teorema di Pitagora".
La definizione e la riflessione sugli oggetti matematici svincolate da giustificazioni basate sulla evidenza "fisica" è diventata una caratteristica della matematica solo nel XIX secolo, e in modo graduale.
Prima i matematici, in realtà, non erano tanto dei matematici come li intendiamo noi, ma degli studiosi più generali che sviluppavano riflessioni filosofiche (esiste l'infinito? quali sono le forme di ragionamento corrette? …) e/o fisiche (che cosa è lo spazio? come misurare un volume? come descrivere il movimento di un corpo? …) e/o artistiche (come disegnare una scena in modo che assomigli a come la vedrebbe effettivamente il nostro occhio) e/o ingegneristiche (come inclinare il cannone in modo da ottenere una data gittata? …).
Gli stessi personaggi che si trovano in un libro di storia della matematica si possono trovare in un libro di storia della filosofia o di storia della fisica o di storia dell'arte o ….
Nella matematica degli ultimi secoli è stato messo a punto il concetto generale di distanza ed è stata chiamata geometria euclidea quella basata sulla distanza euclidea.
Il termine distanza euclidea è stato adottato in quanto la distanza con esso indicata corrisponde a quella intutivamente utilizzata da Euclide, e che per lui era l'unico concetto di distanza ammissibile.
Vedrai in studi più avanzati che, in effetti, anche in fisica, per studiare fenomeni ad esempio di tipo astronomico, la distanza euclidea non è un modello matematico adeguato.
