Calcolo di espressioni

#1  Una espressione, in matematica, è una sequenza di simboli  (lettere, cifre e altri segni)  a cui si assegna un certo significato o ruolo convenzionale.  Può essere ad esempio  4>3  che esprime il fatto che 4 è un numero maggiore di 3,  o  6=3·2  che esprime il fatto che 6 è uguale a 3·2,  o  3+2·4  che esprime un numero (il risultato della addizione di 3 con il risultato di 2 per 4),  o  2+x = 4  che esprime una eguaglianza in cui compare un numero incognito indicato con x,  o  {1,2,3} ⊂ {numeri interi}  che esprime il fatto che l'insieme costituito dai numeri 1, 2 e 3 è contenuto nell'insieme dei numeri interi,  o  "il cerchio di centro (0,0) e raggio 1" ⊂ "il cerchio di centro (0,0) e raggio 2"  che esprime il fatto che il primo cerchio è contenuto nel secondo.

    Particolari espressioni sono i termini, che rappresentano numeri, figure o altri oggetti matematici,  e le equazioni, che eprimono l'eguaglianza tra due termini.

    A scuola, in Italia, spesso si chiamano "espressioni" solo i termini.  Noi eviteremo questo uso.  Il titolo "calcolo di espressioni" di questa voce è quindi da intendere come "calcolo di termini".

#2   Facciamo qualche esempio.

•  il calcolo di  2 + 3·4  produce  2 + 12  e poi  14;  in breve:
          2 + 3·4 → 2 + 12 → 14   o   2 + 3·4 = 2 + 12 = 14

•  (2+3)·4 = 5·4 = 20

•  ((2+3·4)·5+1)·2 = ((2+12)·5+1)·2 = (14·5+1)·2 = (70+1)·2 = 71·2 = 142

•  (2·(((2+3·4)·5+1)·2+1)+1)·3 = (2·(((2+12)·5+1)·2+1)+1)·3 = (2·((14·5+1)·2+1)+1)·3 = (2·((70+1)·2+1)+1)·3 = (2·(71·2+1)+1)·3 = (2·(142+1)+1)·3 = (2·143+1)·3 = (286+1)·3 = 287·3 = 861

#3   Gli ultimi esempi sono calcoli un po' "stupidi", che non capita mai di affrontare in situazioni concrete. Servono solo per esercitarsi.
    Per rappresentare la moltiplicazione, invece di "·", si può usare "*", che si trova facilmente sulla tastiera dei computer.

    Uno strumento comodo per fare o controllare i calcoli è l'applicazione WolframAlpha a cui si può accedere gratuitamente online.  Basta battere www.wolframalpha.com per accedere ad essa.  Vediamo che cosa accade introducendo il termine precedente, ossia  (2*(((2+3*4)*5+1)*2+1)+1)*3.

    Otteniamo il risultato, la sua scrittura in inglese e la sua rappresentazione grafica.  Volendo possiamo visualizzare anche i calcoli intermedi, per controllare eventuali errori svolti nell'effettuare i vari passaggi. Se introduco:

(2*(((2+3*4)*5+1)*2+1)+1)*3, 2+3*4, (2+3*4)*5, (2+3*4)*5+1, ((2+3*4)*5+1)*2+1,2*(((2+3*4)*5+1)*2+1)+1

ottengo:

861,  14,  70,  71,  143,  287 

#4   Gli accoppiamenti fra una aperta parentesi "(" e una chiusa parentesi ")" sono evidenti.  In tutto il software, e in matematica, si usano sempre queste parentesi "tonde".  Esistono anche altre parentesi, le "quadre" ("[" e "]") e le "graffe" ("{" e "}") che in matematica sono usate con altri significati.  Nei libri di testo scolastici si usano queste parentesi come fossero le tonde, con una inutile gerarchia (le tonde al più interno, poi le quadre e infine le graffe), che non consente di esprimere termini come quello precedente, per il quale occorrerebbe un ulteriore tipo di parentesi!  Noi useremo sempre le parentesi tonde, eventualmente usando per quelle più esterne una dimensioni maggiore:

(2*(((2+3*4)*5+1)*2+1)+1)*3

#5   Nella scrittura manuale si usano anche più piani:

    Ecco come si introducono in WolframAlpha:

2/3 indica la divisione (o rapporto) tra 2 e 3,  3/(7+6) indica la divisione tra 3 e 7+6 dove 7+6 è stato racchiuso tra parentesi perché altrimenti 3/7+6 avrebbe indicato il termine rappresentato qui a destra,  10^6 indica 10 elevato alla 6  (in pratica "^" rappresenta una "freccia in su" che alza in alto il 6). 

    I risultati vengono espressi sia sotto forma di frazione che in forma decimale:

#6   I seguenti termini:

si possono ottenere battendo:

(15/9) / (3/4)      (1 - 1/3 + 1/5) / (1/2 - 1/4 + 1/6)      (3*5 + 4*5)^2 / (5^3-100)*6      2.151515...
 

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