Trova tutti gli angoli x per cui sono vere le seguenti eguaglianze:
  sin(3x − π/6) = sin(2x)       cos(2x + 30°) = sin(45° + x)       tan(2x − 1°) = tan(x + 3°)

•  sin(3x − π/6) = sin(2x)   è l'eguaglianza tra i valori di due funzioni continue che hanno entrambe come immagine [-1,1] e che hanno periodo una 2π/3, l'altra π;  si tratta di due periodi che hanno un multiplo comune;  l'equazione è quindi periodica, ed ha come periodo il minimo comune multiplo dei due periodi, ossia 2π. La cosa può può essere visualizzata grazie all'aiuto di un computer:

Cerchiamo le soluzioni:
3x − π/6 = 2x + 2nπ   OR   3x − π/6 = π − 2x + 2nπ  ( direz. e funz. circolari)
(1)   3x − π/6 = 2x + 2nπ  ==>   x = π/6 + 2nπ
(2)   3x − π/6 = π − 2x + 2nπ  ==>   5x = 7π/6 + 2nπ  ==>   x = 7π/30 + 2nπ/5
per n = 0  x = 7π/30
per n = 1  x = 7π/30 + 2π/5
per n = 2  x = 7π/30 + 4π/5
per n = 3  x = 7π/30 + 6π/5
per n = 4  x = 7π/30 + 8π/5
per n = 5  x = 7π/30 + 10π/5 = 7π/30 + 2π ottenibile aggiungendo un periodo alla soluz. per n = 0
ecc.
  In defintiva le soluzioni sono: x = π/6, x = 7π/30, x = 7π/30 + 2π/5, x = 7π/30 + 4π/5, x = 7π/30 + 6π/5, x = 7π/30 + 8π/5
e tutti i valori ottenibili da questi sei aggiungendo multipli di 2π.

Vedi qui lo script con cui è stati realizzato il grafico.

Con WolframAlpha: plot sin(3x − PI/6) = sin(2x) for x in [0, 2PI]    → solve sin(3x − PI/6) = sin(2x) for x    (ottengo le soluzioni in forma simbolica, come sopra) solve sin(3x − PI/6) = sin(2x) for x in [0, 2PI]    x = π/6 ≈ 0.523599   x = (11 π)/6 ≈ 5.75959    x ≈ 3.24631   x ≈ 4.50295   x ≈ 0.733038

•  cos(2x + 30°) = sin(45° + x)   mi conviene trasformarla riscrivendo il secondo termine così: cos(2x + 30°) = cos(45° − x)   [ho usato sin(α) = cos(90°−α)] È l'eguaglianza tra i valori di due funzioni continue che hanno entrambe come immagine [-1,1] e che hanno periodo una π, l'altra 2π;  l'equazione è quindi periodica, ed ha come periodo il minimo comune multiplo dei due periodi, ossia 2π (o 360°). La cosa può può essere visualizzata nel modo a destra, all'aiuto di un computer. Cerchiamo le soluzioni:

2x + 30° = 45° − x + 2nπ   OR   2x + 30° = x − 45° + 2nπ  ( direz. e funz. circolari)
(1)   2x + 30° = 45° − x + 2nπ  ==>   3x = 15° + 2nπ  ==>   x = 5° + 2nπ/3
per n = 0  x = 5°
per n = 1  x = 5° + 2π/3 , o x = 5° + 120° = 125°
per n = 2  x = 5° + 4π/3 , o x = 5° + 240° = 245°
per n = 3 ho una soluz. ottenibile aggiungendo un periodo alla soluz. per n = 0; ecc.
(2)   2x + 30° = x − 45° + 2nπ  ==>   x = −75° + 2nπ; prendo ad es. n = 1 ed ho  x = 360° −75° = 285°;
  In defintiva le soluzioni sono: x = 5°, x = 125°, x = 245°, x = 285°, e tutti i valori ottenibili da questi quattro aggiungendo multipli di 360°.

•  tan(2x − 1°) = tan(x + 3°)  è l'eguaglianza tra i valori di due funzioni che hanno entrambe come immagine [-∞,∞] e che hanno periodo una π/2, l'altra π;  l'equazione è quindi periodica, ed ha come periodo il minimo comune multiplo dei due periodi, ossia π.
2x − 1° = x + 3° + nπ
x = 4° + nπ

Per altri commenti: funzioni circolari e trigonometria neGli Oggetti Matematici.