Sappiamo che un piccolo oggetto introdotto in un ambiente a temperatura costante, diversa da quella dell'oggetto, cambia temperatura con una velocità proporzionale alla differenza tra la temperatura dell'ambiente e la temperatura dell'oggetto stesso.  Se una tazza di tè alla temperatura iniziale di 90° in un ambiente di 20° si raffredda a 60° in 6 minuti, quanto tempo impiega a raggiungere i 30°?

Sia T la differenza (in gradi) della temperatura del tè dalla temperatura ambiente.  Esprimiamo T in funzione del tempo, assumendo 6 minuti come unità per questo.  Sappiamo che T(0) = 90-20 = 70 e che T(1) = 60-20 = 40. Dobbiamo trovare per quale t  T(t) = 30-20 = 10.  Schizziamo la situazione (qui il grafico è quello corretto, fatto col computer, come spiegato sotto, ma schizzando a mano il grafico otterremo qualcosa di simile); capiamo che ci vorranno in tutto 3 o 4 volte 6 minuti.

Facciamo i conti.  Se la velocità di variazione di T è proporzionale al valore di T abbiamo che l'andamento di T è esponenziale: T(t) = 70·a^t.  Sappiamo che T(1) = 40 = 70·a,  dunque  a = 40/70 = 4/7.  Dobbiamo trovare k tale che  70·a^k = 10,  ovvero  a^k = 1/7,  ovvero  (4/7)^k = 1/7.

Risolviamo l'equazione con lo script "equazione" presente qui, calcolando prima 4/7 e 1/7:

4/7 = 0.571428571429,  1/7 = 0.142857142857

3.4772252517 è il tempo misurato assumendo come unità 6 minuti. Il tempo in minuti è quindi 3.4772252517·6 = 20.8633515102, arrotondando 21 minuti.
Ci vogliono 21-6 = 15 minuti perché il tè si raffreddi da 60° a 30°.

Il grafico è stato tracciato con questo script.