Una variabile casuale ha una legge di distribuzione con densità definita su [0,2]  da:  x → 3/8x2.  Verificare che questa è effettivamente una fuzione di densità e determinarne media, mediana, 25° percentile, 75° percentile e scarto quadratico medio.  Calcolare la probabiltà che la variabile assuma valori che distino dalla media meno dello scarto quadratico medio.
• A lato è tracciato il grafico delle nostra funzione; chiamiamola h.  h(0) = 0, h(2) = 1.5. Per verificare che è una funzione densità calcoliamo  ∫ [0,2] f.

∫ _[0,2] f = ∫ _[0,2] 3/8x² dx = [x³/8]_x=2 − [x³/8]_x=0 = 1−0 = 1. OK.
• Media = ∫ _[0,2] x·f(x) dx = ∫ _[0,2] 3/8x³ dx = [3/8x⁴/4] _x=2 = 3/2 = 1.5.
• La mediana è il valore M tale che ∫ _[0,M] f(x) dx = 1/2, ossia M³/8 = 1/2, ossia M = ³√4 = 1.5874....
• Il 25° percentile è il numero p tale che  ∫ _[0,p] f = 1/4, ossia tale che  p³/8 = 1/4, ossia tale che  p³ = 2,  ossia p = ³√2.
• Il 75° percentile è il numero p tale che  ∫ _[0,p] f = 3/4, ossia tale che  p³/8 = 3/4, ossia tale che  p³ = 6,  ossia p = ³√6.
• Varianza = ∫ _[0,2] (x−3/2)²·f(x) dx = ∫ _[0,2] (x−3/2)²·3/8x² dx = 3/20.
Sc. quad. medio = √(3/20) = √15/10 = 0.3872983 (arrotondamento).
• Indichiamo con s lo sc.quad.medio. Dobbiamo valutare ∫ _{[3/2−s, 3/2+s]} f.
[x³/8]_x=3/2+s − [x³/8]_x=3/2−s = 0.6680896 (arrotondamento).

( Si noti come [25°percentile, 75°percentile] = [³√2, ³√6] = [1.2599, 1.8171], in cui cade il 50% dei valori, o altri intrevalli riferiti ai percentili, siano in questo caso più significativi dell'intervallo [m−s, m+s] = [1.1127, 1.8873], simmetrico rispetto alla media m senza che questa sia molto vicina alla mediana )

Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.