Sappiamo che il 12% della popolazione mondiale è mancina. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 100 persone il numero di mancini sia compreso tra 10 e 14 (estremi inclusi)?

Indichiamo con X_i pari ad 1 o a 0 il fattoche l'i-ma persona sia o no mancina.
Dobbiamo valutare  Pr(10 ≤ X₁+X₂+...+X₁₀₀ ≤ 14). Possiamo procedere in vari modi.

(1)  La somma degli X_i ha andamento approssimativamente normale (vedi), con media 12%·100 = 12 e varianza pari a 100 volte la varianza degli X_i :  100·0.12·(1 − 0.12) = 10.56  (vedi)
s.q.m. = √10.56 = 3.24961536
Calcolando la probabilità con il computer (ad es. con lo script "gaussiana" presente qui) otteniamo:
    0.55829987074  se a=9.5  b=14.5  m=12  sigma=3.2496.
Dunque la probabilità cercata è 56%.
Nota. Nell'approssimare il fenomeno discreto col continuo devo prendere l'intervallo [9.5,14.5], non l'intervallo [10,14]; questo sarebbe un grave errore (purtroppo frequente), che darebbe luogo ad un valore ben diverso: 0.46 invece di 0.56. Non basta conoscere le formulette, occorre tener conto di che cosa si sta facendo!

(2)  In alternativa, e con più sicurezza, potremmo simulare il fenomeno con un programmino in JavaScript:

n=1e7; V=0; for(i=1; i<=n; i=i+1)
{ k=0; for(j=1; j<101; j=j+1) if(Math.random()<=0.12) k=k+1
  if(k>=10 && k<=14) V=V+1 } document.write(V/n)

Facendo 3 prove otteniamo:  0.5583431   0.5578698   0.5583903
Potremmo procedere con "n" maggiore, ma ci bastano queste uscite per concludere con sicurezza che la probabilità (arrotondata) è 55.8%.  Comunque con n = 1e8 potremmo ottenetere  0.55825148, 0.55830743, 0.55836591  e dedurre l'arrotondamento 55.83%.

Per altri commenti: Limiti in probabilità neGli Oggetti Matematici.