Una variabile casuale ha una legge di distribuzione con densità definita su IR del tipo x → k·e−|x|. A destra è tracciato il grafico di tale funzione di densità. Trova il valore di k, la media e lo scarto quadratico medio della variabile casuale, e la scala del grafico.

Per simmetria, l'integrale su (−∞,∞) è pari al doppio dell'integrale su [0,∞) di x → k·e^−x, che è pari a k per l'integrale su [0,∞) di x → e^−x, ossia ( Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici) a k.  L'integrale è dunque 2k. Esso deve essere eguale ad 1, quindi k = 1/2 (e b = 1/2, ed a = 1, in quanto exp(-1)/2 = 1.8..., che corrisponde all'ordinata del punto di ascissa a).
Essendo il grafico della densità simmetrico rispetto all'asse y (ossia essendo la funzione dispari) la media è nulla.
La varianza è ∫_(−∞,∞) x²e^−|x|/2 dx = 2·∫_[0,∞) x²e^−x/2 dx = 2. Quindi sqm = √2.

∫ x²e^−x dx = −x²e^−x−2x e^−x−2 e^−x (+c);  non volendo effettuare questa manipolazione simbolica e da questa ricavare l'integrale definito precedente, possiamo utilizzare WolframAlpha:

compute integral
function:    x^2*exp(-x)/2
lower limit:    0
upper limit:    inf
                              1

Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.