Ad un particolare viaggio scolastico partecipano 12 ragazzi, 6 della III A e 6 della III B. Nell'albergo in cui risiedono vengono suddivisi in 6 camere, da due letti. Se la suddivisone viene fatta del tutto a caso, qual è la probabilità che in nessuna camera vi siano alunni di sezioni diverse?

    È un problema che richiede strumenti semplici per essere risolto, ma che non è facile da affrontare.
    Chiamiamo 1, 2, 3, 4, 5 e 6 le coppie di ragazzi. La coppia 1 può essere formata in C(12,2) modi, la coppia 2 in C(10,2) modi, la coppia 3 in C(8,2) modi, ..., la coppia 6 in C(2,2) = 1 modo solo. I modi di suddividere i ragazzi sono dunque C(12,2)·C(10,2)·C(8,2)·C(6,2)·C(4,2). Ma non devo tener conto dei 6! modi in cui posso ordinare le coppie, le suddivisioni possibili sono il numero precedente diviso per 6!:  66*45*28*15*6/6! = 10395.
    I modi di accoppiare i 6 alunni di una classe sono, analogamente, C(6,2)·C(4,2)·1; tenendo conto che i modi in cui posso ordinare queste tre coppie sono 3!, deduco che le coppie possibili di alunni della A sono il numero precedente diviso per 3!. Abbiamo la stessa quantità di coppie possibili di alunni della B. In tutto:  (15*6/3!)^2 = 225
    Quindi la probabilità cercata è:  225 / 10395 = 5/231 = 2.16%.

I calcoli con "calcolatrice2" presente qui:
C(12,2) = 66, C(10,2) = 45, C(8,2) = 28, C(4,2) = 6, !(6) = 720
66*45*28*15*6/720 = 10395, pow(15*6/6,2) = 225
225/10395 = 0.021645021645021644 = 2.1645021645021644% = (arrotondando) 2.16%

Per altri commenti: calcolo combinatorio e calcolo delle probabilità neGli Oggetti Matematici.