Una vetrina di un negozio viene infranta e viene prelevata parte della merce esposta. Un testimone afferma che il ladro era arabo. Quando gli inquirenti gli ripropongono scene simili in analoghe condizioni di luce, distanza, … il testimone identifica correttamente la razza (arabo, non arabo) del ladro nel 75% dei casi. È attendibile la testimonianza se nella località considerata il 12% dei furti sono opera di ladri di razza araba?  [per rispondere calcola la probabilità che il ladro sia effettivamente un arabo]

Devo valutare Pr("essere ladro arabo" | "essere ladro preso per arabo"), ossia Pr("essere ladro" AND "essere arabo") / Pr("essere ladro preso per arabo").  Aiutiamoci con un grafo per illustrare la situazione e fare i calcoli.

                 identif. OK  75% ---- 12%·75%
    ladro         (arabo)    /
    arabo  12% --------------
          /      identif. KO \
         /       (non arabo)  25% ----
 --------
         \       identif. OK  75% ----
  ladro   \      (non arabo) /
non arabo  88% --------------
                 identif. KO \
                  (arabo)     25% ---- 88%·25%

Pr("essere ladro" AND "essere arabo") = 12%·75%.
Pr("essere ladro preso per arabo") = 12%·75% + 88%·25%
Pr("essere ladro arabo" | "essere ladro preso per arabo") = 12·75/(12·75+88·25) = 9/31 = 0. 2903225… = 29.0%.
È una probabilità piuttosto bassa!

Si noti l'importanza di rendersi conto di come è facile ingannarsi nel fare valutazioni probabilistiche. È, forse, più importante rendersi conto degli errori a cui si può andare incontro (e a cui vanno spesso incontro televisione, giudici, forze del'ordine, …), e guardare eventualmente un manuale, o chiedere a qualcuno che si sa essere competente, di fronte a situazioni di questo genere, piuttosto che saper affrontare a macchinetta, solo a scuola e per il tempo necessario, quesiti di questo tipo.

Per altri commenti: dipendenza e indipendenza neGli Oggetti Matematici.