Per ottenere una scatola rettangolare (senza coperchio) di volume V come devo sceglierne le dimensioni in modo che la sua superficie abbia area minima?

Sia x, y e z le tre dimensioni della scatola. Noto V una delle tre dimensioni è funzione delle altre. Ad esempio z = V/(x·y).
L'area della superficie della scatola è  A = x·y+2·(y·z+x·z) = x·y+2·V·(1/x+1/y).
Ovviamente x > 0 e y > 0.
Come si può intuire, se x o y tende a 0 o ∞ allora A → ∞. La cosa si può dedurla dalla espressione di A o dal grafico tracciato col computer (grafici tracciati assumendo V=1):

Con WolframAlpha:  plot x*y+2*(1/x+1/y), x=0.4..3, y=0.4..3

Per trovare i punti critici vedo dove si annullano le derivate parziali:
∂A/∂x = y−2V/x² = 0  se x²y = 2V
∂A/∂y = x−2V/y² = 0  se xy² = 2V
Da x²y = xy², essendo x ed y positive, ricavo x = y.
Da x³ = 2V ricavo x = y = (2V)^1/3 = 2^1/3·V^1/3, e z = V/(x·y) = V^1/3.
Nel caso di una scatola di volume 1 ho x = y = 1.25992…, e z = 1.

Con WolframAlpha:  minimize x*y+2*(1/x+1/y) →  ≈ 4.7622 at (x, y) ≈ (1.25992, 1.25992)

Per approfondimenti vedi qui.