Usando questo programmino calcola e individua il "periodo" (cioè il gruppo di cifre che si ripete nel corso della esecuzione) del valore delle seguenti frazioni:

Quanto è lungo, al massimo, il periodo della frazione M/N?

Per 7/19 ottengo quanto segue, concludendo che il periodo è 368421052631578947, lungo 18 cifre:

Per 7/27 ottengo 0.259259259259259..., concludendo che il periodo è 259, lungo 3 cifre.

Per 11/13 ottengo 0.84615384615384615..., concludendo che il periodo è 846153, lungo 6 cifre.

Per 100/61 ottengo:

Il periodo, 163934426229508196721311475409836065573770491803278688524590, è lungo 60 cifre.

Come si intuisce dagli esempi precedenti, il periodo di M/N è lungo al massimo N-1 cifre.  Perché?  Facendo la divisione a mano prima o poi otteniamo un resto che è già stato ottenuto;  i resti possibili, oltre a 0 nel qual caso il rapporto è un numero decimale finito, sono 1, 2, ..., N-1.