Di fronte al percorso in bicicletta da Sud a Nord raffigurato a lato (clicca qui se vuoi ingrandire l'immagine a destra) voglio stabilire quale delle due strade che collegano i due paesi a 589 m e a 644 m conviene prendere. (1) Calcola l'avanzamento orizzontale lungo le due strade (ossia quello che si vede sulla cartina, trascurando il dislivello superato). (2) Calcola la lunghezza della strada percorsa nei due casi. (3) Calcola il valore della forza di spinta che la bicicletta deve mediamente produrre nei due casi, sapendo che io e bicicletta pesiamo in tutto peso 68 kg. (4) Calcola la forza che nei due casi devo esercitare sui pedali se uso un cambio con rapporto di trasmissione 54/26 e se il rapporto tra raggio della ruota e lunghezza dei pedali è 2.

Osserviamo lo schema del percorso.

(1)  Per il tratto quasi rettilieno trovo che tra i due bivi (P1 e P6) intercorrono (sul piano orizzontale) 750 (±10) metri;  posso valutare la lunghezza segnando sul bordo di un foglio di carta i punti P1 e P6 e poi spostando il foglio in modo che il bordo si sovrapponga alla linea graduata.  Per trovare la lunghezza dell'altro tratto posso riportare su una striscia di carta, che man mano ruoto, un segmento orizzontale costituito da tanti segmenti lunghi quanto P1P2, P2P3, …, e poi, anche in questo caso, trasformare la sua lunghezza usando la scala indicata, ottenendo 1290 (±10) metri.
(2)  Il dislivello è di 55 m. Possiamo trovare il valore della strada dei due tratti usando il teorema di Pitagora, e trovare che, in entrambi i casi, esso non si discosta significativamente da quanto trovato prima; ad esempio ho (vedi figura sottostante) s1 = √(750²+55²) m = 752.0… m = (arrotondando) 750 m, √(1290²+55²) m = 1291.17... = (arrotondando) 1290 m.

(3)  La forza di spinta lungo le due diverse salite si ottiene modificando 68 kg in maniera inversamente proporzionale a come si modifica lo spostamento, da verticale (55 m) a lungo la strada (1290 o 750 m):  68/750·55 = 4.9866… = 5.0 kg;  68/1290·55 = 2.899 = 2.9 kg.

(4)  Trascurando l'attrito degli ingranaggi, possiamo dire che il lavoro che io produco è uguale a quello che la bici produce: la forza Fp che esercito sui pedali per lo spostamento sp di questi è eguale alla forza Fs lungo la strada per lo spostamento ss lungo questa. Dunque:  forza sui pedali = (forza lungo strada)·ss/sp. Lo spostamento sp viene moltiplicato per 54/26 (il rapporto di trasmissione, ossia il numero di giri della ruota che corrisponde ad un giro dei pedali) e poi per 2 (il rapporto tra la lunghezza della ruota e quella di una pedalata). Dunque, in un caso:
(68/750·55)·2·54/26 = 20.713… = 21 kg;  nell'altro:
(68/1290·55)·2·54/26 = 12.0429… = 12 kg.

Volendo potevo fare i calcoli anche valutando le coordinate dei punti come evidenziato dalle tacche rosse nell'immagine precedente e, poi, usando queste per calcolare la lunghezza dei due percorsi, eventualmente usando lo script "lungh P1..Pn" presente qui:
x: 780,1005,995,780,535,300   y: 90,490,605,700,655,660   L=1293.5777026566468 ≈ 1290
x: 780,300   y: 90,660   L=745.1845409024533 ≈ 750.