Sappiamo che, nella figura a lato, un cerchio ha raggio 4 e centro (4,4), un altro cerchio ha raggio 9, tutti e tre i cerchi sono tra loro tangenti e sono tutti tangenti l'asse x. Determina il raggio del 3º cerchio, oltre ai centri del 2º e del 3º. [non è un esercizio facile]

Facciamo riferimento alla figura a lato.  Per la determinazione del centro del secondo cerchio procedo come nella soluzione di questo esercizio, riportata qui sotto. Posso trovare AC col teorema di Pitagora:  AC = √(AB²-BC²) = √(13²-5²) = √144 = 12. Quindi posso determinare le coordinate del punto B. L'ordinata di B è 9.  L'ascissa è 4+AC = 4+12 = 16. Riassumendo. 1º cerchio:  centro = (4,4), raggio 4, equazione (x-4)²+(y-4)² = 16 2º cerchio:  centro = (16,9), raggio 9, equazione (x-16)²+(y-9)² = 81. Affrontiamo la parte meno facile del quesito: come individuare centro e raggio del 3º cerchio. Facendo riferimento al disegno, indicando con R il raggio DE, le informazioni che abbiamo sono: AC = FG = 12,  AD = 4+R,  BD = 9+R,  AF = CG = 4-R,  AD² = AF²+FD²,  BD² = BG²+DG². Dobbiamo trovare  R  e  z, ossia  FD-4.

Da  AD² = AF²+FD² ottengo  (4+R)² = (4-R)²+(z-4)², ossia  16R-z²+ 8z-16 = 0
Da  BD² = BG²+DG² ottengo  (9+R)² = (9-R)²+(16-z)², ossia  36R-z²+32z-256 = 0
Ho dunque  16R-z²+ 8z-16 = 0  AND  16R-z²+ 8z-16 = 36R-z²+32z-256
16R-z²+ 8z-16 = 36R-z²+32z-256  equivale a  z = 10-5R/6. Ho dunque:
      16R-z²+ 8z-16 = 0  AND  z = 10-5R/6   (#)
Sostituendo nella prima equazione ottengo:
16R-(10-5R/6)²+ 8(10-5R/6)-16 = 0. Sviluppando: -25R²/36 + 26 R - 36 = 0, da cui:
R = 36/25  OR  R = 36.   Escludendo la seconda soluzione abbiamo:  R = DE = 36/25 = 1.44
Questa è l'ascissa del cerchietto. Per trovare l'ascissa, z, uso la seconda equazione di (#):
z = 10-5R/6 = 10-5*36/25/6 = 44/5 = 8.8.

Verifica con WolframAlpha:
(x-4)^2+(y-4)^2 = 16, (x-16)^2+(y-9)^2 = 81, (x-8.8)^2+(y-1.44)^2 = 1.44^2, x*y=0