Calcolare      ∫ _{[1, e]} x³ log(x)² dx

Conviene ricondursi prima a un integrale indefinito, ed affrontare questo per parti. Indichiamo con un apice la derivata rispetto ad x:
∫ x³ log(x)² dx = ∫ (x⁴/4)' log(x)² dx = x⁴/4·log(x)² − ∫ x³/2·log(x) dx = (*)
∫ x³·log(x) dx = x⁴/4·log(x) − ∫ x³/4 dx = x⁴/4·log(x) − x⁴/16 + c
(*) = x⁴/4·log(x)² − x⁴/8·log(x) + x⁴/32 + c
∫ _{[1, e]} x³ log(x)² dx = e⁴/4 − e⁴/8 + e⁴/32 − 1/32 = (5e⁴ − 1)/32

Con WolframAlpha
integral x^3*log(x)^2 dx
integral x^3*log(x)^2 dx from x=1 to exp(1)

Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.