Calcolare      ∫ x² log(x) dx

Procedo per parti. Cerco di togliermi dai piedi log(x) che non è facilmente integrabile, a differenza della sua derivata; x² è facile vederlo come derivata:
∫ x² log(x) dx = ∫ D_x(x³/3) log(x) dx = x³/3 log(x) − ∫x³/3·1/x dx = x³/3 log(x) − x³/9 (+c)

    Posso controllare con WolframAlpha:  integral x^2 log(x) dx   →   1/9 x^3 (3 log(x) - 1) (+c)

Calcolare      ∫ log(x²+1) / x² dx

Procedo per parti. Cerco di togliermi dai piedi log.   x⁻² è facile vederlo come derivata.
∫ log(x²+1) / x² dx = ∫ D_x(−x⁻¹) log(x²+1) dx = −x⁻¹ log(x²+1) + ∫x⁻¹·1/(x²+1)·2x dx = −log(x²+1)/x + 2 ∫1/(x²+1) dx = −log(x²+1)/x + 2 atan(x) (+c)

    Con WolframAlpha:  integral log(x^2 + 1)/x^2 dx   →   2 atan(x) - log(x^2 + 1)/x (+c)

Per altri commenti: calcolo di integrali neGli Oggetti Matematici.