Data la funzione x → x⁴ − 2x³ + 7x − 5, studiane l'andamento, compresa la concavità, eventualmente trovando alcuni valori (zeri o punti di massimo o minimo o …) in forma approssimata.

Si tratta di una funzione polinomale di grado pari e di coefficiente direttivo positivo, quindi per l'input che tende a ∞ o a −∞ tende a ∞. Potrebbe avere da 0 a 4 zeri. Se disponiamo di un computer possiamo facilmente stabilire che l'andamento è quello rappresentato a fianco. Altrimenti la cosa più semplice è determinare le sue derivate. Indichiamo con F la funzione:  F '(x) = 4x3−6x2+7, F "(x) = 12x2−12x = 12x(x−1).  F "(x) = 0 sse x=0 o x=1.  F '(0) = 7,  F '(1) = 5;  quindi in 0 e in 1 abbiamo flessi ascendenti (vedi i pallini gialli).  Le ordinate corrispondenti sono F(0) = −5, F(1) = 1.  Quindi possiamo schizzare un grafico simile a quello a fianco. Volendo trovare con più precisione le coordinate dei punti in cui il grafico taglia l'asse x e in cui raggiunge il punto più basso (vedi i pallini neri) possiamo procedere per tentativi ragionati, o usare un programma per la ricerca degli zeri. QUI lo script con cui si può tracciare il grafico a destra.  Sotto l'impiego dello script "equazioni" presente QUI per risolvere le equazioni polinomiali di 3º e 4º grado sopra considerate,  e dello script "calcolatrice2" per calcolare l'ordinata del punto di minimo.

Potevo studiare il problema anche con WolframAlpha introducendo plot x^4 - 2*x^3 + 7*x - 5 e poi altri comandi:

In alternativa potrei usare dei programmi in un qualunque linguaggio. Vediamo qui come usare il Basic:

• ricerca delle soluzioni con "soluz. equaz.":

15 a = -2 : b = 0
20 n = 0
25 m = a+(b-a)/2
30 n=n+1 : x = a : gosub 1000 : gosub 500 : sa = segno
35 x = m : gosub 1000 : gosub 500 : sm = segno
40 if sa = sm then a = m else b = m
50 goto 25
500 segno=0 : if y>0 then segno = 1 
501 if y<0 then segno = -1
502 if segno=0 or n = 60 then gosub 600
503 return
600 print "x = "; m : print "- - - - - - - - - - - -" : END
1000 y = x^4 - 2*(x^3) + 7*x - 5 : return
x = -1.655600721392961
- - - - - - - - - - - -
15 a = 0 : b = 2
...
x = 0.8027663827371374
- - - - - - - - - - - -

• ricerca del minimo sempre con "soluz. equaz.":

15 a = -2 : b = 2
...
1000 y =  4*(x^3) - 6*(x^2) + 7 : return
x = -0.9271772417075457

• ricerca dei punti di flesso usa "equ.grado 2" per risolvere 12*(x^2)-12*x:

10 print "soluzioni di a*x^2 + b*x + c = 0"
20 input "a = "; A : input "b = "; B : input "c = "; C
30 abc = B*B-4*A*C : if abc<0 then goto 100
40 if abc=0 then goto 200
50 k1 = -B/(A+A)+SQR(abc)/(2*A): k2 = -B/(A+A)-SQR(abc)/(2*A)
60 print "soluzioni:  "; k1, k2 : goto 20
100 print "b^2-4*a*c = "; abc; " < 0. Nessuna soluzione." : goto 20
200 print "b^2-4*a*c = 0; 1 soluzione:  "; -B/(A+A) : goto 20
soluzioni di a*x^2 + b*x + c = 0
a =  12
b =  -12
c =  0
soluzioni:  1   0

Richiami:   concavità di una funzione  neGli Oggetti Matematici.