Due grandezze, le cui misure in opportune unità di misura indico con G1 e G2, sono legate da una relazione del tipo G2 = k G1. Voglio determinare k, che so essere una costante positiva.

In tre esperimenti ottengo le coppie (G1,G2) rappresentate a lato con i punti A, B e C. Sono misure effettuate con apparati misuratori ad alta sensibilità, per cui non conosco la precisione delle misure. Per determinare k decido di cercare, tra tutti i grafici del tipo G2 = k G1 (rette passanti per l'origine) come quello raffigurato a fianco, il grafico che rende minima la somma dei quadrati degli scarti tra i valori di G2 sperimentali e quelli che sarebbero stati associati ai valori G1 dalla relazione G2 = k G1. Ossia cerco la pendenza che deve avere una retta passante per l'origine affinché la somma dei quadrati di a, b e c (vedi fig. a lato) sia minima. Trova il valore di k seguendo questa idea, e approssimalo a tre cifre significative. Controlla la soluzione tracciando la retta di cui hai così trovato la pendenza.

a²+ b²+ c² = (k x_A - y_A)²+ (k x_B - y_B)²+ (k x_C - y_C)².
    È un'espressione polinomiale in k di secondo grado. Assume valore minimo quando si annulla la sua derivata rispetto a k, ossia quando:
2(k x_A - y_A)x_A + 2(k x_B - y_B)x_B + 2(k x_C - y_C)x_C = 0
ossia:  k = (x_Ay_A+ x_By_B+ x_Cy_C)/(x_A² + x_B² + x_C²)

    In questo caso k = (1.6*18+3.6*26+4.8*48)/(1.6*1.6+3.6*3.6+4.8*4.8) = 9.14937759... che arrotondo a 9.15.

Per tracciare la retta G2 = 9.15·G1 trovo G2 che corrispone a G1 = 6; ottengo 9.15·6 = 54.9. La retta è quasi coincidente con quella già tracciata, quindi evito di disegnarla.

    Comunque, per fare prima, e ridurre la possibilità di commettere errori, possiamo ricorrere ancora allo script "retta regressione", che individua automaticamente la retta richiesta dal quesito, che si chiama, appunto, "retta di regressione", in questo caso vincolata a passare per (0,0).  Se i punti sono (1.6,18), (3.6,26), (4.8,48),  imponendo che la retta passi per (0,0),  trovo y = 9.1494·x.