Schizza il grafico della seguente funzione, e controllalo, poi, al computer mediante una opportuna applicazione. Stabilisci se è possibile estendere la funzione ad un dominio più ampio in modo che in esso sia continua.
  x → (x² + x) / (x · (|x| – 1) )

Ci conviene prima operare qualche manipolazione algebrica:

(x² + x) / (x · (|x| – 1) ) equivale a (x · (x + 1) ) / (x · (|x| – 1) ) che:
se x > 0 equivale a (x+1)/(x–1),
se x < 0 equivale a (x+1)/(–x–1) = –1, a patto che x≠-1, in cui la funzione non è definita,
se x = 0 è indefinito.

• A sinistra dell'asse y il grafico coincide (per x≠-1) con la retta y = –1, e quindi:
lim_{x → –1+}F(x) = lim_{x → –1–}F(x) = –1.

• A destra dell'asse y il grafico coincide con y = (x+1)/(x–1), ossia y = 1+2/(x–1) (iperbole con asintoti x=1 e y=1)

[ci si può arrivare facendo la divisione: 1 con resto 2, o con: (x+1)/(x–1) = ((x–1)+1+1)/(x–1) = 1+2/(x–1)]

• Per x = 0 sia la retta che l'iperbole hanno y = –1. Quindi lì il grafico della nostra funzione (chiamiamola F) tende a congiungersi, senza arrivare a farlo in quanto ivi la funzione non è definita:
lim_{x → 0+}F(x) = lim_{x → 0–}F(x) = –1.

Ecco, a destra il grafico ottenuto con  questo  script.  Ha due "buchi", in (0, –1) e (–1, –1), che sono stati inseriti con appositi comandi in quanto il programma non li avrebbe evidenziati.
Il grafico è ottenibile facilmente anche con WolframAlpha: plot (x^2 + x) / (x * (|x| - 1) ), -3 < x < 3

Se definisco
G(x) = –1 se x=0 o x=-1, G(x) = F(x) =(x² + x) / (x · (|x| – 1) ) altrimenti,
ottengo una funzione G che nel suo dominio (l'insieme dei numeri reali diversi da 1) è continua e coincide con la funzione F iniziale nel dominio di essa. Non è possibile estenderci a tutto l'intervallo dei numeri reali in quanto per x = 1 l'iperbole ha un asintoto.

Per altri commenti: limiti neGli Oggetti Matematici.