In una classe di scuola secondaria superiore si sta studiando la convergenza delle lenti.  Utilizzando dell'opportuno software si vuole individuare la relazione tra posizione di un oggetto luminoso e posizione della sua immagine (nitida) proiettata da una lente convergente su uno schermo. Qui è illustrato il funzionamento del software. Qui trovi i dati raccolti: la ascissa (rispetto alla lente) dell'oggetto e quella della sua immagine. A destra la rappresentazione grafica di tali dati. Qui lo script con cui è stata ottenuta (ma si poteva usare altro software). Cercate di mettere in luce, graficamente e numericamente, qual è la relazione algebrica tra le due grandezze  (suggerimento: provate a trasformare i dati con: x→1/x, y→1/y).

Ricordiamo alcuni concetti.  Un fascio di raggi di luce paralleli produce attraverso la lente un fascio di luce che converge nel fuoco, e una sorgente luminosa posta nel fuoco produce attraverso la lente un fascio di raggi paralleli.  Se un oggetto P è posto ad una distanza x dalla lente maggiore della distanza focale f esso emette raggi in tutte le direzioni;  quello parallelo all'asse della lente viene da questa deviato e passa per il fuoco;  quello che passa per il centro della lente procede non deviato;  essi si intersecano nel punto dove è localizzata l'immagine P' di P.

È evidente che vi sono due asintoti verticali (più o meno x=2 e x=-2) e due orizzontali (y=k e y=-k con k tra 2 e 3).  Utlizzo il suggerimento presente nel quesito:  trasformare i dati con x→1/x, y→1/y.  Ottengo il grafico a lato, realizzato con questo script (ma si poteva usare altro software). Osservo immediatamente che si tratta di due semirette con pendenza 1, passanti una per (-0.5,0), l'altra per (0.5,0), e quindi di equazioni y=x+0.5 per x<0 e y = x-0.5 per x>0. Torno ai dati originali:  1/y=1/x+0.5 e 1/y=1/x-0.5, ovvero  1/y=(1+0.5x)/x e 1/y=(1-0.5x)/x, da cui  y=x/(1+0.5x) per x<-2 e y = x/(1-0.5x) per x>2.  Sotto il grafico (fatto con questo script).

Per x → ∞ lim x/(1-0.5x) = lim x/(-0.5x) = -2.  Analogamente per x → -∞  x/(1+0.5x) → 2.

La distanza tra gli asintoti verticali (x=2 e x=-2) e l'asse y, ossia 2, è la distanza del fuoco dalla lente: i raggi di luce che arrivano paralleli (e quindi convergenti all'infinito) vengono trasformati in raggi convergenti nel fuoco.