Risolvi (rispetto all'unica variabile, x) l'equazione
(2x-1)·(2x+1)·(3x+1) = 0
(2x-1)(2x+1)(3x+1) = 0 quando almeno uno tra 2x-1, 2x+1 e 3x+1 vale 0.
Quindi vi sono tre possibilità affinché l'equazione sia vera:
2x-1 = 0, ossia 2x = 1, ossia x = 1/2;
2x+1 = 0, ossia 2x = -1, ossia x = -1/2;
3x+1 = 0, ossia 3x = -1, ossia x = -1/3.
Queste sono le tre soluzioni.
Il quesito sembra molto facile, tuttavia in un test di ingresso somministrato a un grande campione (7300 persone)
delle matricole delle facoltà scientifiche delle Università di Genova e di Pisa (nel 1982 e nel 1983) vi sono state
solo il 64% di risposte esatte, e non sempre ottenute nel semplice modo illustrato sopra.
Moltissimi studenti hanno moltiplicato i tre polinomi ottenendo una equazione polinomiale di 3° grado che poi si sono messi a cercar di risolvere con tecniche varie di scomposizione o di fronte alla quale hanno affermato di non conoscere la formula risolutiva delle equazioni di 3° grado.
Vi è la cattiva abitudine (forse coltivata dall'insegnamento) di affrontare tutto con delle manipolazioni o cercando di ricordare qualche "ricetta", invece di cercare di analizzare in modo più riflessivo i problemi proposti (e, in questo caso, pensare al significato di "soluzione di una equazione").
Analogamente, di fronte allo studio della curva y = 3(x−2)² + 4 è controproducente passare
alla esplicitazione nella forma polinomiale standard del secondo termine, ma molti alunni procedono così, in modo da usare
il loro bagaglio di formulette per le equazioni di 2º grado, come sono stati abituati a fare.
È opportuno, comunque, far osservare agli alunni che mentre lo "sviluppo" del prodotto è controproducente nei casi come questo, in cui
esso viene eguagliato a 0, non è detto che lo sia nel caso di altre equazioni, come (2x-1)(2x+1)(3x+1)=x+1 o (2x-1)(2x+1)(3x+1)=(3x²+5)(4x+3). Vedi sotto.
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Risoluzione di (2x-1)(2x+1)(3x+1) = x+1 (rispetto ad x).
Vediamo innanzi tutto come procedere graficamente.
A destra vari grafici realizzati (ad esempio) con
questo script.
Potremmo procedere con ulteriori zoom.
Comunque,
fermandoci qui possiamo prendere come soluzione arrotondata 0.62552.
Potrei manipolare (2x-1)(2x+1)(3x+1)-(x+1).
Posso procedere facilmente a mano, ma vediamo come farlo con del software, ad esempio con WolframAlpha:
(2x-1)(2x+1)(3x+1)-(x+1) → 12 x^3 + 4 x^2 - 4 x - 2
C'è modo di risolvere esattamente questa equazione, ma la cosa coinvolge strumenti non alla portata degli studenti
preuniversitari. Vediamo come risolverla con un programmino in JavaScript:
function F(x) {return (2*x-1)*(2*x+1)*(3*x+1)-(x+1) }
a=0; b=1
...
0.6255181996522396
Con WolframAlpha posso anche risolverla esattamente (anche senza conoscere il procedimento impiegato):
12 x^3 + 4 x^2 - 4 x - 2 = 0 →
x = 1/18 (-2 + 4 10^(1/3) + 10^(2/3)) = 0.625518199652239654413736...
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Posso risolverla facilmente anche con lo script "equazioni":
Risoluzione (rispetto ad x) di (2x-1)(2x+1)(3x+1) = (3x²+5)(4x+3).
Posso manipolare, come sopra, (2x-1)(2x+1)(3x+1)-(3x²+5)(4x+3).
(2x-1)(2x+1)(3x+1) → (12x³+4x²-3x-1),
(3x²+5)(4x+3) → 12x³+9x²+20x+15
(12x³+4x²-3x-1)-(12x³+9x²+20x+15) = -5x² - 23x - 16 = 0
posso risolverla facilmente rispetto ad x.
Ma se voglio controllare il calcolo posso tracciare direttamente il grafico di y=(2x-1)(2x+1)(3x+1)-(3x²+5)(4x+3) col computer (ad esempio con
questo script; ma potrei usare WolframAlpha) e verificare che effettivamente si tratta di una parabola:
