Un oggetto è sottoposto ad una forza di richiamo proporzionale alla sua distanza y (in una opportuna unità di misura) da una posizione fissata che rispetto al tempo x (in una opportuna unità di misura) è regolata dalla legge y"(x) = -3·y(x)-2*y'(x)  a causa della presenza di una forza di attrito proporzionale alla velocità.  Utilizzando WolframAlpha, ricava il grafico della soluzione e quello della relazione che lega y e la velocità y' nel caso in cui y(0)=1, y'(0)=3. Fai la stessa cosa nel caso in cui y"(x) = -y(x)-16*y'(x), y(0)=1, y'(0)=1.

• Con WolframAlpha da  y"(x) = -3*y(x)-2*y'(x), y(0)=1, y'(0)=3  ottengo
y(x) = exp(-x/2)*(sqrt(7)*sin((sqrt(7)*x)/2)+cos((sqrt(7)*x)/2))  e i grafici seguenti:

I grafici sono "schizzati". Otteniamo un grafico migliore della soluzione con
plot exp(-x/2)*(sqrt(7)*sin((sqrt(7)*x)/2)+cos((sqrt(7)*x)/2)), x=0..9     x=0..20

La relazione che lega y e y' la tracciamo in forma parametrica. Prima calcoliamo (con WolframAlpha) y':
d/dx exp(-x/2)*(sqrt(7)*sin((sqrt(7)*x)/2)+cos((sqrt(7)*x)/2))    →   e^(-x/2)*(3*cos((sqrt(7)*x)/2)-sqrt(7)*sin((sqrt(7)*x)/2))

Tracciamo ora il grafico della relazione tra y e y':
parametric plot ( exp(-t/2)*(sqrt(7)*sin((sqrt(7)*t)/2)+cos((sqrt(7)*t)/2)), e^(-t/2)*(3*cos((sqrt(7)*t)/2)-sqrt(7)*sin((sqrt(7)*t)/2)) ), t=0..20

• Con WolframAlpha da  y"(x) = -y(x)-16*y'(x), y(0)=1, y'(0)=1  ottengo
y(x) = 1/14*exp(-(8+3*sqrt(7))*x)*((7+3*sqrt(7))*exp(6*sqrt(7)*x)+7-3*sqrt(7))  e i grafici seguenti:

I grafici sono "schizzati". Otteniamo un grafico migliore della soluzione con
plot 1/14*exp(-(8+3*sqrt(7))*x)*((7+3*sqrt(7))*exp(6*sqrt(7)*x)+7-3*sqrt(7)), x=0..5     x=0..40

La relazione che lega y e y' la tracciamo in forma parametrica. Prima calcoliamo (con WolframAlpha) y':
d/dx 1/14*exp(-(8+3*sqrt(7))*x)*((7+3*sqrt(7))*exp(6*sqrt(7)*x)+7-3*sqrt(7))    →   1/14*e^(-((8+3*sqrt(7))*x))*((7-3*sqrt(7))*e^(6*sqrt(7)*x)+7+3*sqrt(7))

Tracciamo ora il grafico della relazione tra y e y':
parametric plot ( 1/14*exp(-(8+3*sqrt(7))*t)*((7+3*sqrt(7))*exp(6*sqrt(7)*t)+7-3*sqrt(7)), 1/14*e^(-((8+3*sqrt(7))*t))*((7-3*sqrt(7))*e^(6*sqrt(7)*t)+7+3*sqrt(7)) ), t=0..20

Si capisce che il grafico è parziale, anche solo confrontandolo con quello piccolo schizzato sopra: dovrebbe inclinarsi verso sinistra.

Volendo tracciarlo per esteso possiamo usare questo script, ottenendo il grafico seguente a sinistra, o R project, ottenendo (con i comandi indicati sotto) quello a destra.

f = function(x) 1/14*exp(-(8+3*sqrt(7))*x)*((7+3*sqrt(7))*exp(6*sqrt(7)*x)+7-3*sqrt(7))
g = function(x) eval(D(body(f),"x"))
x1 = 0; x2 = 40; punti = 3000; x = seq(x1,x2,(x2-x1)/punti)
c(min(f(x)),max(f(x)),min(g(x)),max(g(x)))
# 0.08672252  1.05117871 -0.06452910  1.00000000
plot(c(0,1.1), c(-0.1,1), type="n", xlab="", ylab="")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
lines(f(x),g(x),lwd=2)