Uno studente (fine superiori o inizio università) di fronte a F(x) = |x|² dice che F non è derivabile in 0 in quanto non lo è la funzione valore assoluto. Spiega l'errore dello studente (a quale "teorema" - o "regola" - si è rifatto? perché lo ha usato male? ...). Quali problemi didattici ti suggerisce questo caso?

Il teorema (noto in inglese come chain rule) a cui si è rifatto lo stuente è il seguente:
Se G è differenziabile in x e F è differenziabile in F(G(x)), allora, se y = F(G(x)) e u = G(x),

ovvero:

(F(G(.))' = F'(G(.))·G'(.)

Ma lo studente ha interpretato il "se ... allora ..." come un "... se e solo se ...", ossia ha preso la "regola" come una equivalenza. E ciò è una conseguenza dell'insegnamento che gli è stato impartito: è "naturale" interpretare in questo modo la regola se non si esemplifica il fatto che l'implicazione opposta non vale, e non si fa prestare attenzione ad esso con appositi esercizi!