Cerca la rappresentazione decimale dei numeri che in base 2 hanno le rappresentazioni illimitate  0.010101... e  0.101010... utilizzando il programmino "basi num" per verificare le risposte.

Uso del programmino:

base 2; 1/3 = 0 . 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
base 2; 2/3 = 0 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Altro esempio:

base 2; 1/7 = 0 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
base 2; 2/7 = 0 . 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

Un altro:

base 2; 2/5 = 0 . 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
base 2; 4/5 = 0 . 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
base 2; 2/10 = 0. 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

Un esempio con un'altra base:

base 3; 1/4 = 0 . 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
base 3; 3/4 = 0 . 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
base 3; 1/12 = 0. 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

Facendo delle osservazioni al computer si possono fare delle congetture che, stimolati, poi si possono dimostrare:

In base 2 se raddoppio il numeratore la parte frazionaria "si sposta" a sinistra di un posto, se raddoppio il denominatore si sposta a destra.
In base 3 se triplico il numeratore la parte frazionaria "si sposta" a sinistra di un posto, se triplico il denominatore si sposta a destra.

La dimostrazione è semplice:
le frazioni 1/2^N se moltiplico per 2 diventano 1/2^N-1, se divido per 2 diventano 1/2^N+1;
le frazioni 1/3^N se moltiplico per 3 diventano 1/3^N-1, se divido per 3 diventano 1/3^N+1.

Per approfondimenti, vedi "Calcolatore 6 - I numeri macchina" negli Oggetti Matematici.