In un libro di testo recente per il primo biennio delle superiori (simile a gran parte dei libri più diffusi) leggiamo, dopo una parte dedicata all'introduzione della geometria piana:
Tutte le figure, indipendentemente dalla loro forma, hanno un'estensione. Poiché si tratta di un concetto primitivo non possiamo definire questo concetto con parole più semplici. [...] Definendo trasformazione geometrica una funzione biunivoca dello spazio in sé, diciamo che due figure sono equivalenti se esiste una trasformazione geometrica che mette in corrispondenza i punti delle due figure.
Discuti la correttezza di quanto esposto nel libro.

Nel libro non c'è quasi niente di corretto, purtroppo.

Innanzi tutto il concetto di primitivo è molto "primitivo": vedi; i concetti "primitivi" sono definiti implicitamente dagli assiomi, non sono "indefiniti".

Una funzione biunivoca dello spazio in sé è, appunto, solo una funzione bigettiva da R² in R², non una "trasformazione geometrica".

Infine, il concetto di estensione, che va opportunamente definito, via via per figure più complesse, non vale per tutte le figure.

Infatti non tutte le figure limitate (cioè racchiudibili in un rettangolo) hanno un'area.  Ad es. la figura {(x,y) / 0≤x≤1, 0≤y≤1, x numero decimale limitato} è una specie di quadrato costituito da infiniti segmenti verticali aventi per ascisse 0, 0.1, 0.2, … 0.9, 1, 0.01, 0.02, …, 0.09, 0.11, …, 0.19, …, 0.99, 0.001, …, 0.999, …. Questa figura non contiene quadrati di lato 1, né di lato 0.1, né di lato 0.01, né …; infatti ogni quadratino, per quanto piccolo, contiene dei punti con ascissa non decimale limitata. La figura ha dunque area 0? Se consideriamo la figura {(x,y) / 0≤x≤1, 0≤y≤1, x numero non decimale limitato}, che unita alla precedente forma il quadrato {(x,y) / 0≤x≤1, 0≤y≤1}, con un ragionamento simile abbiamo che non può contenere alcun quadrato. Avrebbe allora anche questa area 0. Ma allora il quadrato, per la proprietà additiva, dovrebbe avere area 0+0=0, mentre sappiamo che ha area 1. Dobbiamo concludere che queste figure sono di superficie non misurabile, altrimenti arriveremmo a una contraddizione.

Libri di questo genere, che vorrebbero avere un'impostazione assiomatica, dimostrano solo l'ignoranza di concetti di base di matematica da parte dei loro autori.