Esistono il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra polinomi?

La risposta è NO, ma, incredibilmente, molti libri di testo dicono che è unico, confondendo le operazioni tra polinomi con quelle tra numeri!

Nella scuola preuniversitaria si considerano i polinomi a coefficienti reali (negli studi universitari si possono considerare quelli a coefficienti interi, complessi o appartenenti ad altre strutture matematiche).  Vediamo, ad esempio, come determinare un mcd (massimo comune divisore) di 3x²-9x+6 e 6x²-30x+36.  L'idea (come nel caso del mcd tra numeri) è quella di cercare di semplificare il rapporto tra essi, riconducendomi questa volta a rapporti tra polinomi di grado man mano più basso.  3x²-9x+6 = 3(x-1)(x-2),  6x²-30x+36 = 6(x²-5x+6) = 6(x-2)(x-3).  Ottengo in questo modo che x-2 è un mcd, ma lo sono anche, per esempio, 3x-6, 2x-4, 0.6x-12, ….  Se si vuole scegliere un rappresentante, si può prendere x-2, cioè quello con coefficiente direttivo 1 (un polinomio con coefficiente direttivo 1 viene chiamato monico).  Usando questa convenzione:

mcd(3x²-9x+6, x²-5x+6) = x-2

Così come nel caso dei numeri (in cui ad esempio trovato che mcd(6,9) = 3 posso calcolare il minimo comune multiplo mcm(6,9) come 6·9/mcd(6,9) = 6·9/3 = 18), passando al caso dei polinomi, abbiamo:

un rappresentante di mcm(P1,P2) è  P1·P2 / mcd(P1,P2)

Nel caso del nostro esempio:

(3x²-9x+6)·(6x²-30x+36) / (x-2) = 3(x-1)(x-2)6(x-2)(x-3) / (x-2) = 18(x-1)(x-2)(x-3)

Posso prendere come rappresentante il polinomio monico  (x-1)(x-2)(x-3) = x³-6²+11x-6  ma, anche in questo caso, potrei prendere questo polinomio moltiplicando per un qualunque numero diverso da 0.

In molti libri di testo, per ignoranza degli autori, si considera il massimo comune divisore, come se tra due polinomi si potesse stabilire quale è il maggiore.  Per esempio nel caso di 3x²-9x+6 e 6x²-30x+36 si afferma che il mcd è 3x-6 e si considera sbagliata la risposta x-2!