Una permutazione di una sequenza di N oggetti può essere interpretata come una funzione iniettiva F da {1, 2, 3, …, N} in {1, 2, 3, …, N}:  quella che mette l'oggetto di posto i nel posto F(i).  Ad esempio la permutazione che inverte l'ordine di una sequenza di 4 oggetti e quella che li fa avanzare di un posto (e mette l'ultimo al primo posto) possono essere descritte mediante le funzioni {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} rappresentate nella figura a destra.
Se P1 e P2 sono due permutazioni, possiamo chiamare loro prodotto la permutazione P1·P2 che si ottiene effettuando prima P1 e poi P2, cioè la premutazione che corrisponde alla funzione  F2(F1(.))  se F1 e F2 sono le due funzioni che corrispondono, rispettivamente, a P1 e P2.
(1) Descrivi come funzione la permutazione P1·P2 se P1 e P2 sono le due permutazioni raffigurate sopra.
(2) L'insieme delle permutazioni di una sequenza di N oggetti dotato della operazione di moltiplicazione sopra descritta gode della proprietà commutativa?  Ha un elemento neutro e, in caso affermativo, una operazione di passaggio all'inverso?

(1) Come si vede bene sulla figura, P1 manda 1 in 4, poi P2 manda 4 in 1; analogamente 2 viene mandato in 3 e 3 poi in 4.  La funzione che descrive P1·P2 è: 1 → 1, 2 → 4, 3 → 3, 4 → 2.

(2) Questo prodotto non è commutativo.  Ad esempio nel caso del precedente esempio P1·P2 è diversa da P2·P1: 1 → 3, 2 → 2, 3 → 1, 4 → 4. Solo nel caso in cui N ≤ 2 il prodotto è commutativo (perché? …). Vi è, invece, l'elemento neutro: è la permutazione che lascia stare tutto com'è  (ossia la funzione i → i),  e vi è l'operazione di passaggio all'inverso:  la permutazione inversa di P è rappresentata dalla funzione inversa della funzione che rappresenta P  (è la permutazione che "rimette le cose al loro posto").

Per altri commenti: calcolo combinatorio e strutture numeriche e non neGli Oggetti Matematici.