In un esperimento a scuola si vuole misurare l'accelerazione di gravità g e, a questo scopo, si lascia cadere un peso dal quarto piano, da un'altezza di 14.1±0.1 m, e si trova che esso impiega per arrivare a terra 1.6±0.1 s. Qual è il valore di g che si ottiene? Per migliorare la misura di g mi conviene cercare di misurare con più precisione l'altezza da cui rilascio il peso o il tempo di caduta?

Sappiamo che l'altezza h è legata al tempo t dalla relazione h = g t²/2, da cui g = 2h/t² e, quindi, 2·14.0/1.7² m/s² ≤ g ≤ 2·14.2/1.5² m/s², ossia 9.68858...m/s² ≤ g ≤ 12.62222...m/s². Possiamo prendere [9.7, 12.6] come intervallo di indeterminazione della misura di g in m/s².

Per valutare di quale grandezza conviene migliorare la precisione proviamo a ragionare più in generale.

•  Supponiamo di sapere che una certa misura x sta in [9,11], ossia di sapere che x=10±1, ossia di conoscere x con l'indeterminazione 11-9 = 2, ovvero con l'indeterminazione relativa 2/10 = 0.2 = 20%. Di x² che cosa posso dire? che è circa 10² = 100, o meglio che sta tra 81 e 121; l'inderminazione è 121-81 = 40, e quella relativa 40/100 = 40%. Grosso modo elevando al quadrato la precisione relativa raddoppia.

•  Di 1/x che cosa posso dire? che è circa 1/10 = 0.1, o meglio che sta tra 1/9 = 0.111... e 1/11 = 0.090909...; l'inderminazione è 1/9-1/11 = 0.0202020..., e quella relativa 0.0202020.../0.1 =0.202020... ≈ 20%. Grosso modo facendo il reciproco la precisione relativa rimane uguale.

•  Se so anche che y sta in [19,21], ossia di conoscerlo con l'indeterminazione relativa 2/20 = 10%, che cosa posso dire di x·y? che sta tra 9·19=171 e 11·21=231: l'indeterminazione è 231-170 = 60 e quella relativa è 60/(10·20) = 60/200 = 30%. Grosso modo facendo il prodotto la precisione relativa è la somma delle precisione relative (il caso dell'elavemento al quadrato considerato sopra rientra in questo).

•  E che cosa posso dire di x/y? Per quanto visto sopra per il reciproco e per il prodotto, essendo x/y pari al prodotto tra x e 1/y, posso concludere che anche facendo la divisione la precisione relativa è circa uguale alla somma delle precisione relative.

Tornando al nostro caso, la precisone relativa di 2h/t² è, circa, pari alla somma di quella di h e del doppio di quella di t. Al momento la precisione relativa di h è 1/141 = 0.7% mentre quella di t è 1/16 = 6.25%, quindi l'unico modo per migliorare la mia valutazione di g consiste nel migliorare la precisione con cui rilevare t.

  Per altri commenti: calcolo approssimato neGli Oggetti Matematici.