Con la piccola calcolatrice "calcoli" presente qui effettuo il calcolo di
1234567*7654321 + 1234567/7 - 7654321*1234567  e di  1234567*7654321 - 7654321*1234567 + 1234567/7
che sono evidentemente equivalenti.  Ottengo 176366.71484375003 e 176366.7142857143.
Quale dei due risultati è da accettare?  Come mai, secondo te, l'altro procedimento dà un risultato errato?

Riordiando i termini, e tenendo conto che 7654321*1234567 = 1234567*7654321, abbiamo che il secondo calcolo equivale a 1234567/7, per il quale la calcolatrice dà 176366.7142857143. Questo è il procedimento corretto. Intuiamo anche che 714285 è il periodo, per cui il risultato esatto sarebbe 176366.7142857142857142857...
Per altro 714285/999999 = 5/7, per cui potrei esprimere il risultato come 176366+5/7.

Posso controllare la cosa anche con WolframAlpha:  1234567*7654321 - 7654321*1234567 + 1234567/7  produce sia 176366.7142857142857142857... che 1234567/7 e 176366+5/7.

Per capire quel che accade per 1234567*7654321 + 1234567/7 - 7654321*1234567 facciamo qualche calcolo:

1234567*7654321 = 9449772114007
1234567/7 = 176366.7142857143
1234567*7654321 + 1234567/7 = 9449772290373.715 con 715 invece che 7142857143

Nel calcolo di  1234567*7654321 + 1234567/7 - 7654321*1234567 = 176366.71484375003  le ultime cifre 84375003 non sono quindi attendibili.