Prime riflessioni sull'insegnamento/apprendimento dell'algebra elementare

(1)  Come, in Europa, si avvia la diffusione dell'algebra elementare:  storia 1.

(2)  Come inizialmente venivano scritte le equazioni:  storia 2

(3)  L'uso di "cosa", "censo", … consentì di avviare le prime discussioni generali relative alla risoluzione delle equazioni. Un passo successivo fu quello dell'uso di più nomi (in genere singole "lettere") come numeri variabili e l'impiego di segni per le operazioni (li ritroviamo in particolare, intorno al 1590, nei trattati dell'avvocato francese François Viète, che non fu, comunque, il primo a introdurli). Non si trattava, tuttavia, ancora di una manipolazione simbolica astratta: "A quadratum", ossia A², ad es., non poteva essere sommato ad A in quanto non si trattava di "grandezze" omogenee (era come sommare aree a lunghezze). Inoltre fu lento lo sviluppo della abilità di trasformare termini contenenti variabili in termini a loro equivalenti. Due esempi qui.
    Tenere presenti questi aspetti potrà esserci utile per riflettere su come motivare all'uso e alla manipolazione delle formule (non tanto "storicamente" quanto ricreando, con i propri alunni, esigenze/clima/ ... che conducano all'esigenza di nuovi oggetti/metodi matematici, mettendo a fuoco lo scaricamento di attività ripetitive e meccaniche e i salti concettuali che si stanno operando, ...).

(4)  Il passaggio dal calcolo con numeri al calcolo con variabili è stato, storicamente, lungo e difficoltoso. A scuola, spesso, il cosiddetto "calcolo letterale" (ossia il calcolo simbolico) viene introdotto o spiegato con frasi del tipo: «con l'algebra si passa dall'operare coi numeri all'operare con le lettere».
• Come occorrerebbe precisare/modificare questa affermazione?
• Per l'alunno, poi, il passaggio è così banale? L'obiettivo di un "calcolo letterale" (ossia della manipolazione di una espressione contenente variabili) ha la stessa chiarezza (che cosa devo ottenere? come devo procedere?) di quello del calcolo del valore numerico di un termine non contenente variabili?

(5)  Per avviare una riflessione su come la cosiddetta "algebra" viene spesso avviata nella scuola secondaria superiore, consideriamo  gli es. 12, 19, 32 qui (e poi gli es. 11-14, 18).

(6)  La parte della matematica che si occupa delle proprietà delle strutture numeriche e del calcolo simbolico o letterale su espressioni numeriche viene chiamata anche algebra elementare o algebra classica in quanto, ai nostri giorni (a partire dagli inizi del '900), con "algebra" si intende, più in generale, la parte della matematica che si occupa delle proprietà delle strutture sia numeriche che non numeriche, di cui abbiamo visto qualche esempio in questo paragrafo.
    Alcuni chiamano algebra e algebra moderna ciò che qui si è indicato come, rispettivamente, algebra classica e algebra.
    In qualche libro si trova che l'algebra (elementare) sarebbe l'area della matematica che si occupa della risoluzione delle equazioni. Questo non è corretto: come abbiamo visto, per affrontare questo argomento (e inquadrarlo teoricamente) entrano in gioco in modo decisivo anche i concetti di funzione e di continuità, che, volendo fare classificazioni, rientrano nella parte della matematica nota come analisi matematica.  L'algebra coincideva con l'area che si occupa della risoluzione delle equazioni qualche secolo fa - vedi il punto (1) - quando esse non intervenivano per lo studio di problemi geometrici e per la modellizzazione di problemi relativi alle pi disparate aree, matematiche e non, quando non venivano rappresentate graficamente, …