Dot Product
Let u = (u₁, u₂, u₃) and v = (v₁, v₂, v₃). The dot product u·v (also called the scalar product or Euclidean inner product) of u and v is defined in two distinct (though equivalent) ways:
(1)  u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
(2)  u·v = 0 if u=0 or v=0, u·v = ||u|| ||v|| cos(θ), where θ is min{∠uv, ∠vu}, otherwise  [note: cos(∠uv) = cos(∠vu)]

Why are the two defnitions equivalent?

Per la definizione (2), u·v, fissate le intensità di u e v, assume valore massimo se u e v hanno direzioni uguali od opposte,  u·v=0 se u e v sono perpendicolari.  Quindi tra i versori i, j e k degli assi x, y e z valgono le relazioni seguenti: i·i = 1,  i·j = 0,  i·k = 0,  j·j = 1,  j·i = 0,  j·k = 0,  k·k = 1,  k·i = 0,  k·j = 0. Potevamo tralasciare qualche relazione in quanto u·v = v·u, cosa che segue dal fatto che ||u|| ||v|| = ||v|| ||u||.
Inoltre a·(b+c) = a·b+a·c. Infatti (vedi figura a lato) a·(b+c) equivale al prodotto di ||a|| (lunghezza di PQ) per la proiezione su a di b+c (PK), e questa è pari alla somma delle proiezioni su a di b (PH) e c (HK), che sono pari ad a·b e a·c. Poi (ku)·v = k(u)·v.Infatti se moltiplico per k un vettore viene moltiplicata per k anche la sua proiezione su un altro vettore v. Dunque:
u·v = (u1i+u2j+u3k)·(v1i+v2j+v3k) = u1v1·1+u1v2·0+ … + u3v3·1 = u1v1 + u2v2 + u3v3

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(1)  ||u × v|| = ||u|| ||u|| sin(θ), where θ is min{∠uv, ∠vu}, direction of u×v determined by the right-hand rule   is equivalent to:
(2)  ||u × v|| = (u₂v₃-u₃v₂)i + (u₃v₁-u₁v₃)j + (u₁v₂-u₂v₁)k
  Poof
Per (1), i × i = 0, i × j = k, j × k = i, i × k = -j, …
Inoltre, come per il prodotto scalare, vale a×(b+c) = a×b+a×c. Quindi:
(u₁i+u₂j+u₃k) ×(v₁i+v₂j+v₃k) = u₁i×(v₁i+v₂j+v₃k) + u₂j×(v₁i+v₂j+v₃k) + u₃k×(v₁i+v₂j+v₃k) =
… = (u₂v₃-u₃v₂)i + (u₃v₁-u₁v₃)j + (u₁v₂-u₂v₁)k