Il concetto di numero reale

La padronanza dei numeri decimali limitati, la capacità di utilizzare strumenti di misura graduati, … sono fondamentali, in particolare, per avviare una sistemazione del concetto di numero reale, che inzialmente deve essere chiamato semplicemente "numero" (o numero illimitato), rinviando a metà delle scuole superiori l'aggiunta dell'attributo reale per distinguerlo dai numeri complessi.  Non è certamente un concetto difficile:  già i babilonesi (circa 2 millenni a.C.) padroneggiavano un sistema di scrittura posizionale, anche se con base sessanta:  ad es. 1 24 51 10 (scritto usando simboli diversi per le cifre) rappresentava il numero 1+24/60+51/60²+10/60³;  sapevano calcolare la radice quadrata di un numero con qualunque precisione  (avevano l'idea che si poteva andare avanti e che fermandosi ad un certo punto si otteneva una approssimazione, di cui sapevano valutare l'errore);  …

Il modo più semplice, comprensibile e affontabile correttamente nella scuola preuniversitaria è quello di introdurre i numeri "reali" come opportune successioni di caratteri (cifre, "." e "–"),  con una opportuna relazione di "eguaglianza" (3.7999…=3.8000…, ecc.),  con una definizione algoritmica delle operazioni sui numeri decimali limitati,  e con l'estensione di queste operazioni ai numeri reali mediante il concetto di approssimazione  (es.: per ottenere il risultato di x·y con una certa precisione basta operare su intervalli di indeterminazione per x e per y sufficientemente piccoli).

Invece nei libri di testo spesso si trova una "buffa" costruzione dei vari insiemi numerici a partire da N.

"Buffa" perché sarebbe dispendioso e difficile introdurre gli strumenti algebrico-logico-insiemistici per effettuare "correttamente" la costruzione (anche il solo passaggio) agli interi, e di questi non si trova traccia nei libri di testo,  per non parlare della costruzione di Q a partire da N per la quale occorrerebbe applicare concetti come partizione, classe di equivalenza, immersione, …  (nella scuola preuniversitaria si può introdurre il termine "razionali" come alternativa per individuare i numeri periodici, dopo aver scoperto che questi sono identificabili come i numeri esprimibili come rapporto, "ratio", tra numeri interi).

E i numeri reali in tali libri vengono introdotti come elementi di separazione tra classi contigue di numeri razionali, senza rendersi conto che se i numeri reali non li ho già non esiste alcun elemento se non nei casi in cui appartenga a una delle due classi, e sia quindi razionale;  e senza porsi il problema che, comunque, si dovrebbe trovare il modo di collegare (e in modo "corretto") questa "costruzione" all'usuale modo di scrivere i numeri.

Solo a livello universitario si possono mettere a punto i concetti per una corretta costruzione, più o meno in questo modo, della struttura dei numeri reali.